在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 22:56:47

在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF和中线BM,CN分别相交于P,Q两点,求证：EP=PQ=QE.

应该是求证：FP＝PQ＝QE.
［证明］
令BD＝x、DC＝y.
∵DF∥CN,∴BF/FN＝BD/DC＝x/y,∴可设BF＝mx、FN＝my.
∵BA＝2BN,∴BA＝2（BF＋FN）＝2m（x＋y）,∴BA/BF＝2（x＋y）/x.
∵DE∥BM,∴CE/ME＝DC/BD＝y/x,∴可设ME＝nx、CE＝ny.
∵MA＝CM,∴MA＝CE＋EM＝n（x＋y）,∴ME/MA＝x/（x＋y）.
对△AFE来说,由梅内劳斯定理,有：（ME/MA）（BA/BF）（FP/PE）＝1,
∴［x/（x＋y）］［2（x＋y）/x］（FP/PE）＝1,∴FP/PE＝1/2,∴FP/（FP＋PE）＝1/3,
∴FP＝（1/3）FE.
显然有：CA＝2MA＝2n（x＋y）、NA＝BN＝BF＋FN＝m（x＋y）.
∴CE/CA＝y/［2（x＋y）］、NA/NF＝（x＋y）/y.
对△AFE来说,再由梅内劳斯定理,有：（CE/CA）（NA/NF）（QF/QE）＝1,
∴｛y/［2（x＋y）］｝［（x＋y）/y］（QF/QE）＝1,∴（1/2）（QF/QE）＝1,
∴QE/QF＝1/2,∴QE/（QE＋QF）＝1/3,∴QE＝（1/3）FE.
∵FP＝（1/3）FE、QE＝（1/3）FE,∴PQ＝FE－FP－QE＝（1/3）FE,
∴FP＝PQ＝QE.
再问：什么是梅内劳斯定理？能用初中方法解答吗？
再答：梅内劳斯定理：
若一直线截△ABC的边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，
则：（BD/DC）（CE/EA）（AF/FB）＝1。
［证明］
※、相交情形1：一直线截△ABC的边BC、CA和AB的延长线于D、E、F，
过C作CG∥EF交AF的延长线于G。
显然有：BD/DC＝BF/FG、CE/EA＝FG/FA，
∴（BD/DC）（CE/EA）（AF/FB）＝（BF/FG）（FG/FA）（AF/FB）＝1。

其它的相交情形可类似地给出证明（此处略）。

相似三角形的题,在△ABC中,BM,CN是中线,D是BC边上的任一点,作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E, 在三角形ABC中,M,N分别在AB,AC上,且BM=CN,D,E分别是MN,BC的中点,过点A作AP平行于DE交BC于P 在三角形ABC中 M,N等别在AB,AC上,且BM=CN,D,E分别是MN,BC的中点,过点A作AP平行于DE交BC于点在△ABC中,M和N是AB、AC上的两点,BM=CN.D、E是MN和BC的中点,AP∥DE,AP交BC于P,求∠BAP= 如图,在△ABC中,AB＞AC,在AB、AC上截取BM=CN.D、E分别为MN和BC的中点,AP平行于DE,交BC于点P 在△ABC中,M,N分别在AB,AC上,且BM=CN,D,E分别是MN,BC的中点,过A作AP∥DE,AP交BC与P. 在三角形ABC中底边BC上的E F两点把BC三等分 BM是AC边的中线 AE AF分别交于BM于点P和点Q 请你探究B 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线已知：如图,在△ABC中M、N分别在AB、AC上,BM=CN,D、E分别是MN、BC的中点,AP‖DE交BC于P.求证：在三角形ABC中,E.F是BC边上的三等分点,BM是AC上的中线,AE,AF分别与BM交于D,G.求BD:DG:GM.还如图,在三角形ABC中,D是BC边上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DE＝DF,EF与AD交于点O,求证AD 在三角形ABC中,D是BC的中点,MD垂直ND,MD交AB于M,ND交AC于N,求证:BM+CN大于MN