搜搜考试网简易逻辑和函数的综合题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/05 05:02:43
简易逻辑和函数的综合题
已知f(x)=a*x^2+b*x+c(a,b,c∈R,x∈R),且A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x},(1)求证A包含于B；（2）若A=B={0,1},求a的取值范围.
已知f(x)=a*x^2+b*x+c(a,b,c∈R,x∈R),且A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x},(1)求证A包含于B；（2）若A=B={0,1},求a的取值范围.
(1)对于任意的x∈A,有f(x)=x,使得f(f(x))=f(x)=x,可得x∈B.所以,A包含于B；
(2)因为A=B={0,1},有c=0,a+b=1,且方程a^3x^3+2a^2bx^2+(ab+ab^2)x+b^2-1=0只有一个实数根（显然.x=1是它的根）.满足要求的一个充分条件为函数y=a^3x^3+2a^2bx^2+(ab+ab^2)x+b^2-1在R上单调,即y'=3a^3x^2+4a^2bx+ab+ab^2在R上恒为非正或非负.可得(4a^2b)^2-12a^3(ab+ab^2)≤0,4b^2-3b-3b^2≤0,0≤b≤3,0≤1-a≤3,-1≤-a≤2,-2≤a≤1,a≠0,所以,-2≤a≤1,a≠0.
(2)因为A=B={0,1},有c=0,a+b=1,且方程a^3x^3+2a^2bx^2+(ab+ab^2)x+b^2-1=0只有一个实数根（显然.x=1是它的根）.满足要求的一个充分条件为函数y=a^3x^3+2a^2bx^2+(ab+ab^2)x+b^2-1在R上单调,即y'=3a^3x^2+4a^2bx+ab+ab^2在R上恒为非正或非负.可得(4a^2b)^2-12a^3(ab+ab^2)≤0,4b^2-3b-3b^2≤0,0≤b≤3,0≤1-a≤3,-1≤-a≤2,-2≤a≤1,a≠0,所以,-2≤a≤1,a≠0.