函数f（x）的定义域为R，且满足：

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/25 23:17:39

函数f（x）的定义域为R，且满足：
①对于任意的x，y∈R，f（x-y+1）=f（x）f（y）+f（1-x）f（1-y）；
②f（x）在区间[0，1]上单调递增．
求：（Ⅰ）f（0）；（Ⅱ）不等式2f（x+1）-1≥0的解集．

（Ⅰ）证明：令x=0，y=1，得 f（0）=2f（0）f（1），所以f（0）=0或f（1）=
1
2．
令x=0，y=0，得f（1）=[f（0）]²+[f（1）]²．
若f（1）=
1
2，则f（0）=±
1
2．
令x=y=
1
2，得f（1）=2[f（
1
2）]²．
即f（
1
2）=±
1
2，
因为f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（0）＜f（
1
2）＜f（1），矛盾！
因此f（0）=0，
（Ⅱ）令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．…①
令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．…②
即对于任意的x∈R，恒有f（x-1）=-f（1-x），
代入①式得对于任意的x∈R，恒有f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（6分）
可得f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4），
即：函数f（x）的最小正周期为4．
这样可以大致描述f（x）的图象（如右）
令x＝y＝
1
3，f(
2
3)＝2f(
1
3)f(
2
3)，
因为f(
2
3)＞f(0)＝0，所以f(
1
3)＝
1
2，所以f(
5
3)＝
1
2，…（12分）
所以2f（x+1）-1≥0，可得到f(x+1)≥
1
2．
根据图象
1
3+4k≤x+1≤
5
3+4k，k∈Z，
所以不等式的解集是{x|4k−
2
3≤x≤4k+
2
3，k∈Z}…（14分）

函数f（x）的定义域为R,且满足下面两个条件已知函数f（x）的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x),证明它是周期函数! 已知函数f（x）的定义域为R+,且满足条件f（x）=f（1/x)*lgx+1,求f（x）的表达式已知定义域为R的函数f(x)满足、已知函数f（x）的定义域为R,且满足f（x+2）=-f（x）求证：f（x）是周期函数高中数学函数题已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).若f(x)为奇函数且当x 定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导数f`(x)>0.5,则满足2f(x) 若函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+y)=f(x)-f(y),试判断函数f(x)的奇偶性若函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+y)=f(x)-f(y),试判断函数f(x)的奇偶性. 已知幂函数f（x）的定义域为R,且它关于y轴对称.写出一个满足要求的幂函数f（x）若函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+2f(-x)=x^2+2x,则该函数的解析式为已知函数f(x)的定义域为R,且对一切实数x满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)