数列a(n)满足a(n)=2a(n-1)+2^n-1,a(4)=81,(1)数列的前3项(2)求数列啊a(n)的前n项和
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/14 02:41:31
数列a(n)满足a(n)=2a(n-1)+2^n-1,a(4)=81,(1)数列的前3项(2)求数列啊a(n)的前n项和S(n)
注:a(n)中(n)表是n是a的下标,2^n表是2的n次方,a(4)表是,数列a(n)的第四项.
注:a(n)中(n)表是n是a的下标,2^n表是2的n次方,a(4)表是,数列a(n)的第四项.
对于第一步,实际上就相当于一元一次方程.
a(4)=2a(3)+2^4-1 解出 a(3)=33
余此类推 a(2)=13,a(1)=5
对于第二步,可对递推公式 a(n)=2a(n-1)+2^n-1 逐层削减,把 a(n-1)换成 a(n-2),再把a(n-2)换成a(n-3),……,最后一直到 a(1).具体过程如下:
a(n)=2a(n-1)+2^n-1
=2[2a(n-2)+2^(n-1)-1]+2^n-1
=2^2a(n-2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^2[2a(n-3)+2^(n-2)-1]+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^3a(n-3)+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^3[2a(n-4)+2^(n-3)-1]+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^4a(n-4)+(2^n-2^3)+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
…………
由于 1=n-(n-1),所以可用 n-1、n-2替换上式中的4、3
上面式子最后削减到a1时的表达式为
a(n)=
2^(n-1)*a(1)+[2^n-2^(n-2)]+[2^n-2^(n-3)]+……+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^n-[2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)]
=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^n-[2^(n-1)-1]
=2^(n-1)*5+(2n-3)*2^(n-1)+1
=(n+1)*2^n+1
此即数列的同项公式 (其中*代表乘号)
以n=1、2、3、4代入验证,与前面求出的 5、13、33、81一致.
尽管通项公式求出,但求S(n)还不是显而易见的.下面求 S(n).
重新回答题中给出的 a(n)=2a(n-1)+2^n-1
可转化为 a(n)-a(n-1)=a(n-1)+2^n-1
因此
a(2)-a(1)=a(1)+2^2-1
a(3)-a(2)=a(2)+2^3-1
a(4)-a(3)=a(3)+2^4-1
……
a(n)-a(n-1)=a(n-1)+2^n-1
上面各等式相加.得到
a(n)-a(1)=[a(1)+a(2)+a(3)+……+a(n-1)]+[2^2+2^3+……+2^n]-(n-1)*1
=S(n-1)+4*[2^(n-1)-1]-(n-1)
=S(n-1)+2^(n+1)-n-3
将a(n)的表达式代入其中,得到前n-1项的和
S(n-1)=(n+1)*2^n+1-5-2^(n+1)+n+3
=(n-1)*2^n+n-1
以n替换n-1,得到前n项和的表达式:
S(n)=n*2^(n+1)+n
以n=1、2、3、4代入验证得到
S(1)=5、S(2)=18、S(3)=51、S(4)=132,与实际结构一致.所求表达式正确!
这题好麻烦的呀.
a(4)=2a(3)+2^4-1 解出 a(3)=33
余此类推 a(2)=13,a(1)=5
对于第二步,可对递推公式 a(n)=2a(n-1)+2^n-1 逐层削减,把 a(n-1)换成 a(n-2),再把a(n-2)换成a(n-3),……,最后一直到 a(1).具体过程如下:
a(n)=2a(n-1)+2^n-1
=2[2a(n-2)+2^(n-1)-1]+2^n-1
=2^2a(n-2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^2[2a(n-3)+2^(n-2)-1]+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^3a(n-3)+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^3[2a(n-4)+2^(n-3)-1]+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^4a(n-4)+(2^n-2^3)+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
…………
由于 1=n-(n-1),所以可用 n-1、n-2替换上式中的4、3
上面式子最后削减到a1时的表达式为
a(n)=
2^(n-1)*a(1)+[2^n-2^(n-2)]+[2^n-2^(n-3)]+……+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^n-[2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)]
=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^n-[2^(n-1)-1]
=2^(n-1)*5+(2n-3)*2^(n-1)+1
=(n+1)*2^n+1
此即数列的同项公式 (其中*代表乘号)
以n=1、2、3、4代入验证,与前面求出的 5、13、33、81一致.
尽管通项公式求出,但求S(n)还不是显而易见的.下面求 S(n).
重新回答题中给出的 a(n)=2a(n-1)+2^n-1
可转化为 a(n)-a(n-1)=a(n-1)+2^n-1
因此
a(2)-a(1)=a(1)+2^2-1
a(3)-a(2)=a(2)+2^3-1
a(4)-a(3)=a(3)+2^4-1
……
a(n)-a(n-1)=a(n-1)+2^n-1
上面各等式相加.得到
a(n)-a(1)=[a(1)+a(2)+a(3)+……+a(n-1)]+[2^2+2^3+……+2^n]-(n-1)*1
=S(n-1)+4*[2^(n-1)-1]-(n-1)
=S(n-1)+2^(n+1)-n-3
将a(n)的表达式代入其中,得到前n-1项的和
S(n-1)=(n+1)*2^n+1-5-2^(n+1)+n+3
=(n-1)*2^n+n-1
以n替换n-1,得到前n项和的表达式:
S(n)=n*2^(n+1)+n
以n=1、2、3、4代入验证得到
S(1)=5、S(2)=18、S(3)=51、S(4)=132,与实际结构一致.所求表达式正确!
这题好麻烦的呀.
已知数列 {a(n)} 的通项公式为a(n)=1/(n²+2n),求数列 {a(n)}前n项和
数列(a n)的前n项和Sn=n^2+3n
求数列(1-a),(3-a^2),(5-a^3),.,(2n-1)-a^n的前n项和
Help!Sn是数列(a n)的前n项和,a n=(2n)^2 /(2n-1)(2n+1),求Sn
数列{a(n)}{b(n)}满足a(n)*b(n)=1,a(n)=n²+3n+2,则{b(n)}的前10项和为
数列{a(n)}的前n项和为S(n),a(1)=1,a(n+1)=2S(n)(∈正整数N).求数列{a(n)}的通项公式
已知数列{an}的通项公式a=2n,n为偶数,1-3n,n为奇数,求该数列的前100项和
数列a数列b,满足ab=1,且a=n²+3n+2,则数列b的前10项和为?
在数列{an}中,a1=2,sn=4A(n+1) +1 ,n属于N*.求数列{an}的前n项和Sn
数列{a n }前n 项和s n =n 平方+2n, 数列{b n }前n 项和T n =3/2(b n -1), 求{
数列1,a^2,a^3, …,a^(n-1)的前n项和
数列{a}的前N项和Sn=3n²+n+1,求数列的通项公式