设函数f(x)＝lnx，g(x)＝x−1x．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/25 07:30:20

设函数f(x)＝lnx，g(x)＝x−

（1）函数φ（x）=x-
1
x+klnx的定义域为（0，+∞）．
φ′（x）=1+
1
x2+
k
x=
x2+kx+1
x2，
记函数h（x）=x²+kx+1，其判别式△=k²-4．
①当△=k²-4≤0，（k＜0），即-2≤k＜0时，g（x）≥0恒成立，
∴φ′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，φ（x）在区间（0，+∞）上递增．
②当△=k²-4＞0，（k＜0）即k＜-2时，
方程h（x）=0有两个不等的实根x₁=
−k−
k2−4
2＞0，x₂=
−k+
k2−4
2＞0．
若x₁＜x＜x₂，则h（x）＜0，∴φ′（x）＜0，
∴φ（x）在区间（x₁，x₂）上递减；
若x＞x₂或0＜x＜x₁，则g（x）＞0，∴φ′（x）＞0，
∴φ（x）在区间（0，x₁）和（x₂，+∞）上递增．
综上可知：当-2≤k＜0时，φ（x）的递增区间为（0，+∞）；
当k＜-2时，φ（x）的递增区间为（0，
−k−
k2−4
2）和（
−k+
k2−4
2，+∞），
递减区间为（
−k−
k2−4
2，
−k+
k2−4
2）．
（2）∵x≥e，∴xlnx≥ax+a⇔a≤
xlnx
x+1，
令t（x）=
xlnx
x−1，x∈[e，+∞），则h′（x）=
x+lnx+1
(x+1)2，
∵当x≥e时，（x+lnx+1）′=1+
1
x＞0，
∴函数y=x+lnx+1在[e，+∞）上是增函数，
∴x+lnx+1≥e+lne+1=e+2＞0，h′（x）＞0，
∴t（x）的最小值为h（e）=
e
e+1，
∴a≤
e
e+1．

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