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已知⊙O的半径为R,在它的内接三角形ABC中,有2R(sinA的平方-sinC的平方)=("根号2"a-b)sinB成立

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/22 21:54:44
已知⊙O的半径为R,在它的内接三角形ABC中,有2R(sinA的平方-sinC的平方)=("根号2"a-b)sinB成立
求△ABC面积S的最大值
已知⊙O的半径为R,在它的内接三角形ABC中,有2R(sinA的平方-sinC的平方)=(
根据正弦定理
由2R[(sinA)²-(sinC)²]=(√2*a- b)*sinB
得到 a²-c²=√2ab-b²
根据余弦定理
cosC=(a²+b²-c²)/2ab=√2/2
故 角C=45度
所以 S=(1/2)absinC=2R²sinAsinBsinC
=√2R²sinAsinB
根据两角正弦积化和的公式
S=√2R²sinAsinB=(√2R²/2)[cos(A-B)-cos(A+B)]
=(√2R²/2)[cos(A-B)+cosC]
=(√2R²/2)[cos(A-B)+√2/2]
≤(√2R²/2)[1+√2/2]=[(√2+1)R²]/2
所以当A=B的时候
三角形ABC的面积的最大值是[(√2+1)R²]/2