如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=4，BC=3，点D与点A关于y轴对称，

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/25 18:57:26

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=4，BC=3，点D与点A关于y轴对称，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=4，BC=3，点D与点A关于y轴对称，

（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴AO=BC，AB=OC，∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，

AB=4，BC=3，由勾股定理，得
AC=5．
∴AO=3．
∵点D与点A关于y轴对称，
∴AO=DO．
∴DO=3，
∴D（3，0）；
（2）点D与点A关于y轴对称，
∴∠CDE=∠CAO，
∴AC=CD=5．
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
∵∠AFE=∠ACE+∠CEF，∠DEC=∠ACE+∠CAO（三角形外角性质）
∴∠AFE=∠DEC．
∵在△AEF与△DCE中，

∠CDE＝∠CAO
∠AFE＝∠DEC，
∴△AEF∽△DCE（AA）．
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=5，

∴OE=AE-OA=5-3=2，
∴E（2，0）；
②当EF=FC时，如图②所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=2×
3
5EF=
6
5EF．
∵△AEF∽△DCE，
∴
EF
CE＝
AE
CD，
∴
EF

6
5EF＝
AE
5，
解得AE=
25
6，
∴OE=AE-OA=
25
6-3=
7
6，
∴E（
7
6，0）；
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾．
综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（，2，0）或（
7
6，0）．