求函数y=|x2-2x+k|的图像与直线y=1交点的个数

求函数y=|x2-2x+k|的图像与直线y=1交点的个数

如图,详细讨论需要分六种情况来讨论：
设t(x)=x^2-2x+k,则y=|x^2-2x+k|=|t(x)|
（1）当k>2时,t(x)=(x-1)^2+k-1>1,∴y=|t(x)|=t(x)
为对称轴在x=1,开口向上的抛物线,最小值为k-1>1,故与直线y=1交点个数为0个
（2）当k=2时,t(x)=(x-1)^2+1≥1,∴y=|t(x)|=t(x)
为对称轴在x=1,开口向上的抛物线,最小值为1,故与直线y=1交点个数为1个
（3）当1≤k<2时,t(x)=(x-1)^2+k-1≥0,∴y=|t(x)|=t(x)
为对称轴在x=1,开口向上的抛物线,最小值为k-1≥0,故与直线y=1交点个数为2个
（4）当0<k<1时,t(x)=(x-1)^2+k-1为开口向上抛物线,且与x轴有两个交点x1,x2（设x1<x2）
当x∈(-∞,x1]∪[x2,+∞)时,t(x)≥0,∴y=|t(x)|=t(x),仍为开口向上的抛物线
函数在此区域单调递增或递减,最小值为0,无最大值,故与直线y=1有2个交点
当x∈(x1,x2)时,t(x)<0,∴y=|t(x)|=-t(x)=-(x-1)^2+1-k,为开口向下的抛物线
函数在此区域先增后减,对称轴为x=1,最小值为0,最大值为0<1-k<1,故与直线y=1无交点
∴当0<k<1时,y=|t(x)|与直线y=1共有2+0=2个交点
（5）当k=0时,t(x)=(x-1)^2-1为开口向上抛物线,且与x轴有两个交点x1,x2（设x1<x2）
当x∈(-∞,x1]∪[x2,+∞)时,t(x)≥0,∴y=|t(x)|=t(x),仍为开口向上的抛物线
函数在此区域单调递增或递减,最小值为0,无最大值,故与直线y=1有2个交点
当x∈(x1,x2)时,t(x)<0,∴y=|t(x)|=-t(x)=-(x-1)^2+1,为开口向下的抛物线
函数在此区域先增后减,对称轴为x=1,最小值为0,最大值为1,故与直线y=1有1个交点
∴当k=0时,y=|t(x)|与直线y=1共有2+1=3个交点
（6）当k<0时,t(x)=(x-1)^2+k-1为开口向上抛物线,且与x轴有两个交点x1,x2（设x1<x2）
当x∈(-∞,x1]∪[x2,+∞)时,t(x)≥0,∴y=|t(x)|=t(x),仍为开口向上的抛物线
函数在此区域单调递增或递减,最小值为0,无最大值,故与直线y=1有2个交点
当x∈(x1,x2)时,t(x)<0,∴y=|t(x)|=-t(x)=-(x-1)^2+1-k,为开口向下的抛物线
函数在此区域先增后减,对称轴为x=1,最小值为0,最大值为1-k>1,故与直线y=1有2个交点
∴当k<0时,y=|t(x)|与直线y=1共有2+2=4个交点
综上所述：
当k>2时,y=|t(x)|与直线y=1有0个交点；
当k=2时,y=|t(x)|与直线y=1有1个交点；
当1≤k<2时,y=|t(x)|与直线y=1有2个交点；
当0<k<1时,y=|t(x)|与直线y=1有2个交点；
当k=0时,y=|t(x)|与直线y=1有3个交点；
当k<0时,y=|t(x)|与直线y=1有4个交点；
第3种和第4种情况单从结果来看是相同的,可以合并到一起,但其本质是不同的