速进,求证：存在无穷多组整数（a、b、c）,使得二次函数y=ax^2+bx+c,当自变量x取1、2、3时的函数值分别为m

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 15:03:54

速进,
求证：存在无穷多组整数（a、b、c）,使得二次函数y=ax^2+bx+c,当自变量x取1、2、3时的函数值分别为m,n,L,;且自变量x在m、n、l时的函数值相等.
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记函数 y=f(x)=ax^2+bx+c.由题意,m=f(1),n=f(2),l=f(3).
因此函数在m,n,l处的函数值即为 f(m)=f(f(1)),f(n)=f(f(2)),f(l)=f(f(3))
现在要证明存在无穷多组整数(a,b,c)使得函数 g(x)=f(f(x))在x=1,2,3处的函数值满足g(1)=g(2)=g(3).
容易求得：
g(x)
=f(f(x))
=a[f(x)]^2+bf(x)+c
=a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c
为使g(1)=g(2)=g(3),只需
a(a+b+c)^2+b(a+b+c)+c
=a(4a+2b+c)^2+b(4a+2b+c)+c
=a(9a+3b+c)^2+b(9a+3b+c)+c
直观上来看,三个未知数只有两个方程,因此必有无穷多组解.
严格来讲,从a(a+b+c)^2+b(a+b+c)+c=a(4a+2b+c)^2+b(4a+2b+c)+c 两边消去c再移项得到：a(4a+2b+c)^2-a(a+b+c)^2=b(a+b+c)-b(4a+2b+c),即
a(3a+b)(5a+3b+2c)=-b(3a+b) (1)
同理由 a(4a+2b+c)^2+b(4a+2b+c)+c=a(9a+3b+c)^2+b(9a+3b+c)+c 类似可得
a(5a+b)(13a+5b+2c)=-b(5a+b) (2)
等式(1)(2)两边分别约去3a+b,5a+b (这里先假设3a+b,5a+b均不为0)可得：
a(5a+3b+2c)=-b 以及 a(13a+5b+2c)=-b.所以如果再假设 a不为0,那么有
5a+3b+2c=13a+5b+2c,于是有 b=-4a.带回上式可知 2c-7a=4.
于是三个整数(a,b,c)可取为(a,b,c)=(a,-4a,(7a+4)/2).
为保证c是整数,只需a是偶数即可.为保证上述3a+b,5a+b,a均不为0,只需a不为0即可.
综上,如果令a=2k,则整数组(a,b,c)=(2k,-8k,7k+2)均满足题中条件,其中k是不为0的整数.

已知二次函数y=ax^2+bx+c.若a+b+c=0,a＞b＞c,且二次函数的图像经过点（q,-a）,试问当自变量x=q ．已知二次函数 ,（1）它的最大值为；（2）若存在实数m,n使得当自变量x的取值范围是m≤x≤n时,函数值y 设二次函数y=ax∧2+bx+c中的a,b,c为整数,且f（0）,f（1）均为奇数,求证,方程f（x）无整数根根据下表中二次函数y=ax^2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值.判断方程ax^2+bx+c=0（a不等于0,a、b 二次函数y=ax^2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如下表. 对于二次函数y=ax^2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如: 对于二次函数y=ax^2+bx+c,如果当x取任意实数时, 已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得一道代数式数学题证明：若当自变量x取任意整数时,二次三项式ax^2+bx+c总取整数值,那么2a,a+b,c都是整数, 已知二次函数y=-x^2+X-1/5,当自变量x取m时,对应的函数值大于0,当自变量x分别取m-1 m+1时对应的函数值已知二次函数y=a^x+bx+c的单调递增区间为(负无穷,2],求二次函数y=b^x+ax+c的单调递增区间已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)中的自变量x和函数值y的部分对应值如下表