设f(x)有界且二阶可导,证明存在一点t使得f''(t)=0.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/05 07:19:47
设f(x)有界且二阶可导,证明存在一点t使得f''(t)=0.
这个函数应该是定义在R上的.
只需证明:如果f''(x)恒不等于0,则f(x)无界.
f'是连续可导函数.f''(x)恒不等于0,所以f'是单调函数.(否则,f'存在局部极值,而在局部极值点的导数 f''=0).不妨设f'为单增函数,(否则,考虑-f).存在 x0 使得 f'(x0) 不等于0,
1.如果 f'(x0)=a>0,则 对 x>x0,f'(x)>a,f(x)=f(x0)+f'(t)(x-x0)>f(0)+a(x-x0) -----> 无穷大,当x--->无穷大时.
2.如果 f'(x0)=a 无穷大,当x---> 负无穷大时.
即:如果f''(x)恒不等于0,则f(x)无界.
所以f(x)有界且二阶可导,则存在一点t使得f''(t)=0.
只需证明:如果f''(x)恒不等于0,则f(x)无界.
f'是连续可导函数.f''(x)恒不等于0,所以f'是单调函数.(否则,f'存在局部极值,而在局部极值点的导数 f''=0).不妨设f'为单增函数,(否则,考虑-f).存在 x0 使得 f'(x0) 不等于0,
1.如果 f'(x0)=a>0,则 对 x>x0,f'(x)>a,f(x)=f(x0)+f'(t)(x-x0)>f(0)+a(x-x0) -----> 无穷大,当x--->无穷大时.
2.如果 f'(x0)=a 无穷大,当x---> 负无穷大时.
即:如果f''(x)恒不等于0,则f(x)无界.
所以f(x)有界且二阶可导,则存在一点t使得f''(t)=0.
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