设函数f(x)在(-∞,+∞)有定义,证明F(x)=[f(x)]^2/{1+[f(x)]
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 22:49:37
设函数f(x)在(-∞,+∞)有定义,证明F(x)=[f(x)]^2/{1+[f(x)]
设函数f(x)在(-∞,+∞)有定义,证明F(x)=[f(x)]^2/{1+[f(x)]^4}在(-∞,+∞)上是有界函数.
求证方法!
设函数f(x)在(-∞,+∞)有定义,证明F(x)=[f(x)]^2/{1+[f(x)]^4}在(-∞,+∞)上是有界函数.
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证明:
∵函数f(x)的定义域为R
∴对于任意实数x,f(x)均表示一个确定的实数,
由基本不等式可知,恒有:
1+[f(x)]⁴≥ 2[f(x)]² ≥0
因1+[f(x)]⁴≥1,所以上面不等式的各边同除以1+[f(x)]⁴.可得:
1≥2f²(x)/[1+f⁴(x)]≥0
即:0≤2F(x)≤1
∴恒有:0≤F(x)≤1/2
由有界函数的定义可得,在R上,
函数F(x)是有界函数.
再问: 2[f(x)]² 怎么来的?
∵函数f(x)的定义域为R
∴对于任意实数x,f(x)均表示一个确定的实数,
由基本不等式可知,恒有:
1+[f(x)]⁴≥ 2[f(x)]² ≥0
因1+[f(x)]⁴≥1,所以上面不等式的各边同除以1+[f(x)]⁴.可得:
1≥2f²(x)/[1+f⁴(x)]≥0
即:0≤2F(x)≤1
∴恒有:0≤F(x)≤1/2
由有界函数的定义可得,在R上,
函数F(x)是有界函数.
再问: 2[f(x)]² 怎么来的?
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