1、x>0,y>0,求证：1/2(x+y)^2 + 1/4(x+y)≥ x倍的根号y + y倍的根号x

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 05:15:33

1、x>0,y>0,求证：1/2(x+y)^2 + 1/4(x+y)≥ x倍的根号y + y倍的根号x
2、a,b属于正实数,且a+b=1,求证：(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/2
3、a,b属于正实数,且(a+b)(a^2+b^2-1)=2,求证:a+b≤2

1.告诉你一件有趣的事,第一题我做过,当时花了1个多小时,总算给我做出来的,均值不等式就怕你想不到.
方法I (x+y)^2≥ 4xy 1/2(x+y)^2 + 1/4(x+y)≥2xy+1/4(x+y)
= xy+1/4x+xy+1/4y xy+1/4x≥ xsqrt(y) xy+1/4y≥ ysqrt(x)
所以原式≥ xsqrt(y) +ysqrt(x) 当 x=y=1/4 等号成立
方法II 分析法原不等式即为
1/2(x+y)(x+y+1/2)≥sqrt(xy)(sqrt(x)+sqrt(y))
x+y≥ 2sqrt(xy) 即证 x+y+1/2≥ (sqrt(x)+sqrt(y))
移项整理即证明 (sqrt(x)-1/2)^2+(sqrt(y)-1/2)^2≥0显然成立
2.由于楼上已经有了详细的论述,不多说了,介绍一种方法吧
你可以三角代换令 a=(cosx)^2 b=(sinx)^2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2=4+(cosx)^4+(sinx)^4+1/(sinx)^4+1/(cosx)^4
=4+[(cosx)^4+(sinx)^4](1+1/(cosx)^4*(sinx)^4)
≥4+2cosx^2sinx^2(1+1/(cosx)^4*(sinx)^4)
=4+2(cosx^2sinx^2+1/cosx^2sinx^2)
cosx^2sinx^2=1/4(sin2x)^2 可知
4+2(cosx^2sinx^2+1/cosx^2sinx^2)≥4+2（1/4+4）=25/2
当a=1/2 b=1/2时等号成立
3.a^2+b^2≥0.5(a+b)^2
2=(a+b)(a^2+b^2-1)≥(a+b)(0.5(a+b)^2-1)
令 a+b=x 2≥0.5x^3-x x^3-2x-4≤0 (x-2)(x^2+2x+2)≤0
因为 x^2+2x+2>0 所以x-2≤0 x≤2 a+b≤2
这题反证法你也可以试试

化简5y/2x倍根号1/y的平方-x/y的立方 (y>x>0) x>y>0,xy=1,求证：（x^2+y^2）/x-y）>=2倍根号2 (3x*根号9x + 6x*根号y/x) - (x的平方*的根号1/x - y倍的根号x/y) 已知(X-1)^2+5倍的根号Y-5X+x-y+z+1的绝对值=0求x+y+z的平方根 x^2+y^2-4x-6y+13=0,求(2/3根号9x+y^2根号x/y^3)-x^2根号1/x-5x根号y/x)的值 {（x-y)/(根号x+根号y)}-(x+y-2倍根号xy)/(根号x-根号y)=? 已知|x+y|+ 根号2x+1=0,根号2(x+5y)的平方根已知y=根号1-x+根号x-1+3,求根号x+根号y分之x+2根号xy+y+根号x-根号y分之一的值 y=根号X的导数为什么是2倍根号X分之1? 若根号x-1+y-3的绝对值=0,化简2倍根号x*根号xy/根号2y等于什么已知x,y满足根号3x+6=根号3y,根号3倍的x^2+6x+根号3=0,求y^2-2倍根号3倍的y+8 设x,y是有理数,并且x,y满足 x平方+2y+(根号2）y=17-4倍根号2 求x,y的值