代数不等式1设x、y、z∈R+,求证:x√[x/(1+yz)]+y√[y/(1+zx)]+z√[z/(1+xy)]≥3/
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/05 10:27:21
代数不等式1
设x、y、z∈R+,求证:x√[x/(1+yz)]+y√[y/(1+zx)]+z√[z/(1+xy)]≥3/√(1+xyz).
设x、y、z∈R+,求证:x√[x/(1+yz)]+y√[y/(1+zx)]+z√[z/(1+xy)]≥3/√(1+xyz).
题目有问题吧, 取x = y = z并趋于0, 则左端趋于0而右端趋于3, 不等式不能成立.
如果加上条件x+y+z = 3倒是不难证明.
首先, 不等式可化为x²/√(x+xyz)+y²/√(y+xyz)+z²/√(z+xyz) ≥ 3/√(1+xyz).
而由Cauchy不等式得:
(√(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz))(x²/√(x+xyz)+y²/√(y+xyz)+z²/√(z+xyz)) ≥ (x+y+z)² = 9.
仍由Cauchy不等式得:
9(1+xyz) = (1+1+1)((x+xyz)+(y+xyz)+(z+xyz)) ≥ (√(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz))²,
即3√(1+xyz) ≥ √(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz).
故x²/√(x+xyz)+y²/√(y+xyz)+z²/√(z+xyz)
≥ 9/(√(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz))
≥ 3/√(1+xyz),
即所求证.
如果加上条件x+y+z = 3倒是不难证明.
首先, 不等式可化为x²/√(x+xyz)+y²/√(y+xyz)+z²/√(z+xyz) ≥ 3/√(1+xyz).
而由Cauchy不等式得:
(√(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz))(x²/√(x+xyz)+y²/√(y+xyz)+z²/√(z+xyz)) ≥ (x+y+z)² = 9.
仍由Cauchy不等式得:
9(1+xyz) = (1+1+1)((x+xyz)+(y+xyz)+(z+xyz)) ≥ (√(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz))²,
即3√(1+xyz) ≥ √(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz).
故x²/√(x+xyz)+y²/√(y+xyz)+z²/√(z+xyz)
≥ 9/(√(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz))
≥ 3/√(1+xyz),
即所求证.
xy+yz+zx=1,求x√yz+y√zx+z√xy
(1/x+1/y+1/z)×(xy)/(xy+yz+zx)
设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x
已知X,Y,Z都是整数且xy+yz+zx=1,求证x+y+z>=根号3
分解因式:xyz-yz-zx-xy+x+y+z-1
xy+yz+zx=1,x,y,z>=0
设x,y,z≥0,x+y+z=3,证明:√x+√y+√z≥xy+yz+zx
设x,y,z是正实数,且x+y+z=1.求证:(1)xy+yz+xz≤1/3,(2)x√y+y√z+z√x≤√3/3.
已知xy:yz:zx=3:2:1,求①x:y:z ②x/yz:y/zx
设x,y,z为正实数,x+y+z=1.求证:yz/x+zx/y+xy/z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2
已知xy/x+y=3,yz/y+z=2,zx/z+x=1,求y的值
已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证:xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)》6