证明不等式:(1+a^2)/(1+b+c^2)+(1+b^2)/(1+c+a^2)+(1+c^2)/(1+a+b^2)>
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/28 11:06:27
证明不等式:(1+a^2)/(1+b+c^2)+(1+b^2)/(1+c+a^2)+(1+c^2)/(1+a+b^2)>=2
这是03年巴尔干地区的奥数题,
但楼主漏掉了a、b、c∈(-1,+∞)这条件.
由于a、b、c>-1,则不等式左边的分母都是正数,
∴(1+a^2)/(1+b+c^2)+(1+b^2)/(1+c+a^2)+(1+c^2)/(1+a+b^2)
≥(1+a^2)/[1+(1+b^2)/2+c^2]+(1+b^2)/[1+(1+c^2)/2+a^2]+(1+c^2)/[1+(1+a^2)/2+b^2]
(分母用了基本不等式)
=2x/(2z+y)+2y/(2x+z)+2z/(2y+x)
(其中,x=(1+b^2)/2,y=(1+c^2)/2,z=(1+a^2)/2).
再令p=2z+y,q=2x+z,r=2y+x,解得:
x=(4q+r-2p)/9,y=(4r+p-2q)/9,z=(4p+q-2r)/9,
∴2x/(2z+y)+2y/(2x+z)+2z/(2y+x)
=(2/9)[(4q+r-2p)/p+(4r+p-2q)/q+(4p+q-2r)/r]
=(2/9)[4(q/p+r/q+p/r)+(r/p+p/q+q/r)-6]
≥(2/9)[4·3(q/p·r/q·p/r)^(1/3)+3(r/p·p/q·q/r)^(1/3)-6]
=2.
故原不等式得证.
但楼主漏掉了a、b、c∈(-1,+∞)这条件.
由于a、b、c>-1,则不等式左边的分母都是正数,
∴(1+a^2)/(1+b+c^2)+(1+b^2)/(1+c+a^2)+(1+c^2)/(1+a+b^2)
≥(1+a^2)/[1+(1+b^2)/2+c^2]+(1+b^2)/[1+(1+c^2)/2+a^2]+(1+c^2)/[1+(1+a^2)/2+b^2]
(分母用了基本不等式)
=2x/(2z+y)+2y/(2x+z)+2z/(2y+x)
(其中,x=(1+b^2)/2,y=(1+c^2)/2,z=(1+a^2)/2).
再令p=2z+y,q=2x+z,r=2y+x,解得:
x=(4q+r-2p)/9,y=(4r+p-2q)/9,z=(4p+q-2r)/9,
∴2x/(2z+y)+2y/(2x+z)+2z/(2y+x)
=(2/9)[(4q+r-2p)/p+(4r+p-2q)/q+(4p+q-2r)/r]
=(2/9)[4(q/p+r/q+p/r)+(r/p+p/q+q/r)-6]
≥(2/9)[4·3(q/p·r/q·p/r)^(1/3)+3(r/p·p/q·q/r)^(1/3)-6]
=2.
故原不等式得证.
当a+b+c=1时,证明a^2+b^2+c^2的不等式
高二不等式证明(1)已知a,b,c,是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a
已知a,b,c是正实数,满足a^2=b(b+c),b^2=c(c+a).证明:1/a+1/b=1/c
柯西不等式的证明 1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)
不用柯西不等式怎么证明a+b+c=1,1/a+b+1/a+c+1/b+c>=9/2
柯西不等式证(a+b+c)*(1/a+b+1/a+c+1/b+c)大于等于9/2
不等式证明习题已知a+b+c=1,a,b,c均属于正实数,求证1/a + 2/b + 4/c>=18.
1.计算:(1)(a-b)(a-c)分之2a-b-c + (b-c)(b-a)分之2b-c-a + (c-b)(c-a)
a^3+b^3+c^3>=1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)怎么证明
已知实数a,b,c,满足a>b>c. 1)求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0 2)试将上述不等式加以
高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证:(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2
基本不等式证明已知a,b,c属于R+(正实数),求证1/2(a+b)^2 + 1/4(a+b)大于等于 a根号b+b根号