证明方程xln(2+x)=1有且只有一个小于1的正根.(要主要步骤)最好用零点定理证.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 14:28:53
证明方程xln(2+x)=1有且只有一个小于1的正根.(要主要步骤)最好用零点定理证.
![证明方程xln(2+x)=1有且只有一个小于1的正根.(要主要步骤)最好用零点定理证.](/uploads/image/z/17600619-3-9.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%E6%96%B9%E7%A8%8Bxln%282%2Bx%29%3D1%E6%9C%89%E4%B8%94%E5%8F%AA%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%B0%8F%E4%BA%8E1%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%A0%B9.%EF%BC%88%E8%A6%81%E4%B8%BB%E8%A6%81%E6%AD%A5%E9%AA%A4%EF%BC%89%E6%9C%80%E5%A5%BD%E7%94%A8%E9%9B%B6%E7%82%B9%E5%AE%9A%E7%90%86%E8%AF%81.)
构造函数f(X)=x㏑(x+2)-1.易知,该函数的定义域为(-2,+∞).求导得:f'(x)=㏑(x+2)+[x/(x+2)].f''(x)=[1/(x+2)]+[2/(x+2)²].易知,在(-2,+∞)上,f''(x)>0.∴f'(x)在[0,+∞)上递增,f'(x)>f'(0)=㏑2.∴在R+上,f(x)递增,f(0)=-1,f(1)=(㏑3)-1>0.∴由零点定理知,必有唯一的m∈(0,1)使得f(m)=0.即得m㏑(m+2)=1.【注:其实,在(-2,0)上,函数f(x)还有一个零点,∵f(-3/2)=(-3/2)×(㏑(1/2))-1=[(3㏑2)-2]/2=[(㏑8)-2]/2≈0.03972>0.f(0)=-1.∴有!只能说,原方程仅有一个介于(0,1)的正根】
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