搜搜考试网求微分方程 xy'-y=x^3 sinx 的通解 .
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 18:08:47
求微分方程 xy'-y=x^3 sinx 的通解 .
像xy'+y=f(x)与xy'-y=f(x)的方程用公式法反而麻烦了, 这种类型的方程很容易通过导数的乘法公式和除法公式凑微分: xy'+y=(xy)', xy'-y=x²(y/x)'
对于xy'-y=x³sinx 两边除以x²得到:(xy'-y)/x²=xsinx
即(y/x)'=xsinx 两边积分得到y/x=∫xsinxdx=∫xd(-cosx)=-xcosx+∫cosxdx=-xcosx+sinx+C
所以y=x(sinx-xcosx+C)
给你一个建议, 解微分方程时尽量先观察方程的特点, 能够不用公式的尽量不要用公式, 因为公式很复杂, 一方面容易记错, 另一方面要算两次积分, 运算量大. 只有实在看不出特点才用公式法(因为高手是从来不记公式的).
像形如xy'-ny,xy'-ny都是可以凑微分的:xy'+ny=(x^ny'+nx^(n-1)y)/x^(n-1)=(x^ny)'/x^(n-1)
xy'-ny=(y/x^n)'(x^(n+1))
对于xy'-y=x³sinx 两边除以x²得到:(xy'-y)/x²=xsinx
即(y/x)'=xsinx 两边积分得到y/x=∫xsinxdx=∫xd(-cosx)=-xcosx+∫cosxdx=-xcosx+sinx+C
所以y=x(sinx-xcosx+C)
给你一个建议, 解微分方程时尽量先观察方程的特点, 能够不用公式的尽量不要用公式, 因为公式很复杂, 一方面容易记错, 另一方面要算两次积分, 运算量大. 只有实在看不出特点才用公式法(因为高手是从来不记公式的).
像形如xy'-ny,xy'-ny都是可以凑微分的:xy'+ny=(x^ny'+nx^(n-1)y)/x^(n-1)=(x^ny)'/x^(n-1)
xy'-ny=(y/x^n)'(x^(n+1))