定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）,且f（-x）= - f（x） ,当x∈（0,1）时,f（x）=2的x

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/09 11:28:32

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）,且f（-x）= - f（x） ,当x∈（0,1）时,f（x）=2的x次幂/（4的x次幂+1）.
（1）.求f（x）在[-1,1]上的解析式；
（2）.证明f（x）在（0,1）上是减函数；
（3）.当λ取何值时,方程f（x）=λ在[-1,1]上有解.
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（1）x∈（0,1）时,-x∈（-1,0）,
又f（-x）= - f（x）＝－2的x次幂/（4的x次幂+1),令-x＝t,得x=-t代入
f（-x）＝－2的x次幂/（4的x次幂+1)整理得
f（t）=－2的t次幂/（4的t次幂+1),所以,当x∈（－1,0）时,
f（x）=－2的x次幂/（4的x次幂+1）.
又定义在R上的奇函数有f(0)=0,故x=0时,f(x)=0
由f（x+2）=f（x）,取x=-1代入得f(1)=f(-1),由于已知函数为奇函数,应该有f(-1)=-f(1),故得f(1)=f(-1)＝0
综上得f(x)在[-1,1]上的表达式为分段函数即：
x∈（0,1）时,f（x）=2的x次幂/（4的x次幂+1）.
x∈（－1,0）时,f（x）=－2的x次幂/（4的x次幂+1）.
x∈｛－1,0,1｝时,f(x)=0
(2)证明：设0＜x1＜x2＜1,
f(x1)-f(x2)=[2的x1次幂/（4的x1次幂+1）]-[2的x2次幂/（4的x2次幂+1）]
将等式右边通分整理得
f(x1)-f(x2)=[（2的x2次幂－2的x1次幂）×（2的(x1＋x2)次幂-1)]/[(4的x1次幂+1)×(4的x2次幂+1)]
由x1＜x2及指数函数性质可得上式f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2)
故f（x）在（0,1）上是减函数；
（3）当λ＝0时,f（x）=0在[-1,1]上有三个解,即x=-1,0,1
当λ>0时,f（x）=λ,由（1）中的函数表达式得：
2的x次幂/（4的x次幂+1）＝λ,整理得：λ×4的x次幂-2的x次幂+λ=0
即：λ×2的2x次幂-2的x次幂+λ=0此为以2的x次幂为未知数的一元二次方程,
由判别式△≥0且两根均为正数得：
△＝1－4×λ的平方≥0,解此不等式得：－1/2≤λ≤1/2,又λ>0,
故0＜λ≤1/2
当λ＜0时,f（x）=λ,由（1）中的函数表达式得：
－2的x次幂/（4的x次幂+1）＝λ,整理得：λ×4的x次幂＋2的x次幂+λ=0
即：λ×2的2x次幂＋2的x次幂+λ=0此为以2的x次幂为未知数的一元二次方程,
由判别式△≥0且两根均为正数得：
△＝1－4×λ的平方≥0,解此不等式得：－1/2≤λ≤1/2,又λ＜0,
故－1/2≤λ＜0
综上可知,当－1/2≤λ≤1/2时,方程f（x）=λ在[-1,1]上有解.

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2）且x∈（-1，0）时，f（x）=2x+15 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）-log3 已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x- 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f(x)＝12x，则使f(x)＝− 已知定义在R上的函数f（x）满足：f(x+y)=f(x)＋f(y),且当x＞0时f(x)＜0;　(1)求f(0)　(2) 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=-f(x)+2,且当x∈(0,5)时,f（x）=x,则f（2011）的值为定义在R上的函数F(x)满足F(0)=0,F(x)+F(1-x）=1,F（x/5)=1/2F(x),且当0≤X1＜X2≤ 定义在R上的偶函数f（x）满足f(x+2)=f（x）,且当x∈（0,1）时,f(x)=2^x-1,则f(log1/2 2 定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且当x＞0时，有f（x 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(2+x)=-f(x),当x∈[0,2]时,f（x）=2x-x&# 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈（0,5）时,f(x)=x,则f=(2009)的值为多少