搜搜考试网轨迹方程是否可用隐函数表示?.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 00:01:26
轨迹方程是否可用隐函数表示?.
圆O半径为3,直线l与O相切,一动圆与直线l相切并与圆O相交的公共弦为圆O直径.求动圆圆心轨迹方程?.
常数a＞0.m向量=（0,a）,n向量=（1,0）过定点A（0,-a）以m向量+λn向量为方向向量的直线与过定点B（0,a）以n向量+2λm向量为方向向量的直线交于P.λ∈R
1.点P轨迹曲线C方程
2.a=√2/2,过E（0,1)的直线l交曲线C于M,N两点.求EM向量·EN向量取值范围?.
圆O半径为3,直线l与O相切,一动圆与直线l相切并与圆O相交的公共弦为圆O直径.求动圆圆心轨迹方程?.
常数a＞0.m向量=（0,a）,n向量=（1,0）过定点A（0,-a）以m向量+λn向量为方向向量的直线与过定点B（0,a）以n向量+2λm向量为方向向量的直线交于P.λ∈R
1.点P轨迹曲线C方程
2.a=√2/2,过E（0,1)的直线l交曲线C于M,N两点.求EM向量·EN向量取值范围?.
轨迹可以用隐函数表示,但最好不要用参数方程表示.
（1）先建立坐标系：以L为x轴,圆O到L的垂径为y轴,切点为原点建立直角坐标系,且点O在L的上方；则圆O方程为：x^2+(y-3)^2=9；
设所求圆心为点M(a,b),画草图易知,两圆的相交弦为圆O的直径,应该满足：
R2^2=R1^2+d1^2,或R2^2=R1^2-d^2,（R1,R2为圆O圆M的半径,d1为圆心距OM）
圆M与L相切,则R2=d2,（d2为M到L的距离）
由题及所建坐标系：R1=3,d1^2=a^2+(b-3)^2,d2^2=R2^2=b^2；
所以：b^2=9+a^2+(b-3)^2,或b^2=9-[a^2+(b-3)^2]
得：6b=a^2+18,或a^2+2b^2-6b=0,
所以,所求圆心的轨迹方程是：6y=x^2+18及x^2+2y^2-6y=0两段曲线；
（两段都是,不能用“或”）
（2）m向量+λn向量=(λ,a),所以L1：y=(a/λ)x-a；
n向量+2λm向量=(1,2λa),所以L2：y=2λax+a；
L1与L2相交,即y=(a/λ)x-a,y=2λax+a联列方程,
得：x=2λ/(1-2λ^2),y=a(1+2λ^2)/(1-2λ^2),这就是点P的横坐标及纵坐标；
题目给定a是常数,λ是参数,所以接下来就是想办法消去参数λ：
对于y=a(1+2λ^2)/(1-2λ^2)中,可得：(1+2λ^2)/(1-2λ^2)=y/a,采用分离常数的方式处理：
(1+2λ^2)/(1-2λ^2)=(2λ^2-1+2)/(1-2λ^2)=-1+2/(1-2λ^2),
所以-1+2/(1-2λ^2)=y/a,即2/(1-2λ^2)=y/a+1=(y+a)/a；①
而在x=2λ/(1-2λ^2)中,可得：2/(1-2λ^2)=x/λ；②
由①②两式得：x/λ=(y+a)/a,即：λ=ax/(y+a)
把λ=ax/(y+a)代入②式中,整理得：2(ax)^2-(y+a)^2+2a(y+a)=0
即：2(ax)^2-(y+a)^2+2a(y+a)-a^2=-a^2
即：2(ax)^2-[(y+a)-a]^2=-a^2
即：2a^2x^2-y^2=-a^2,同除-a^2得：y^2/a^2-2x^2=1；
即：y^2/a^2-x^2/(1/2)=1
所以：点P轨迹曲线C方程是：y^2/a^2-x^2/(1/2)=1 （是一个双曲线）
第二小题：a=√2/2时,双曲线C为：y^2/(1/2)-x^2/(1/2)=1；焦点为（0,±1）
所以点E（0,1）是C的上焦点；设M(x1,y1),N(x2,y2)；分类：
（1）L斜率不存在时,易得M(0,√2/2),N(0,-√2/2)
此时得：EM向量·EN向量=1/2；
（2）L斜率存在时,设斜率为k,则L：y=kx+1；
（因为点E在双曲线的内部,所以除了不能等于渐近线的斜率外,不管k为何值,直线L与双曲线都恒有两个焦点,所以k^2≠1）
EM向量=(x1,y1-1),EN向量=(x2,y2-1),
所以：EM向量·EN向量=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1
因为点M,N在L上,所以：y1=kx1+1,y2=kx2+1；
则：y1y2=k^2*x1x2+k(x1+x2)+1,y1+y2=k(x1+x2)+2；
所以：EM向量·EN向量=(k^2+1)x1x2；
直线L与双曲线C联列方程：y=kx+1,y^2/(1/2)-x^2/(1/2)=1；
消去y得：(2k^2-2)x^2+4kx+1=0,韦达定理得：x1x2=1/(2k^2-2)；
所以：EM向量·EN向量=(k^2+1)/(2k^2-2)；
令EM向量·EN向量=y=(k^2+1)/(2k^2-2)；
2yk^2-2y=k^2+1,即(2y-1)k^2=2y+1,得：k^2=(2y+1)/(2y-1)
(2y+1)/(2y-1)恒不等于1；
则(2y+1)/(2y-1)≧0,即(2y+1)(2y-1)≧0,得y≦-1/2或y>1/2；
综上,EM向量·EN向量取值范围是：(-∞,-1/2]U[1/2,+∞)
如果不懂,请Hi我,
（1）先建立坐标系：以L为x轴,圆O到L的垂径为y轴,切点为原点建立直角坐标系,且点O在L的上方；则圆O方程为：x^2+(y-3)^2=9；
设所求圆心为点M(a,b),画草图易知,两圆的相交弦为圆O的直径,应该满足：
R2^2=R1^2+d1^2,或R2^2=R1^2-d^2,（R1,R2为圆O圆M的半径,d1为圆心距OM）
圆M与L相切,则R2=d2,（d2为M到L的距离）
由题及所建坐标系：R1=3,d1^2=a^2+(b-3)^2,d2^2=R2^2=b^2；
所以：b^2=9+a^2+(b-3)^2,或b^2=9-[a^2+(b-3)^2]
得：6b=a^2+18,或a^2+2b^2-6b=0,
所以,所求圆心的轨迹方程是：6y=x^2+18及x^2+2y^2-6y=0两段曲线；
（两段都是,不能用“或”）
（2）m向量+λn向量=(λ,a),所以L1：y=(a/λ)x-a；
n向量+2λm向量=(1,2λa),所以L2：y=2λax+a；
L1与L2相交,即y=(a/λ)x-a,y=2λax+a联列方程,
得：x=2λ/(1-2λ^2),y=a(1+2λ^2)/(1-2λ^2),这就是点P的横坐标及纵坐标；
题目给定a是常数,λ是参数,所以接下来就是想办法消去参数λ：
对于y=a(1+2λ^2)/(1-2λ^2)中,可得：(1+2λ^2)/(1-2λ^2)=y/a,采用分离常数的方式处理：
(1+2λ^2)/(1-2λ^2)=(2λ^2-1+2)/(1-2λ^2)=-1+2/(1-2λ^2),
所以-1+2/(1-2λ^2)=y/a,即2/(1-2λ^2)=y/a+1=(y+a)/a；①
而在x=2λ/(1-2λ^2)中,可得：2/(1-2λ^2)=x/λ；②
由①②两式得：x/λ=(y+a)/a,即：λ=ax/(y+a)
把λ=ax/(y+a)代入②式中,整理得：2(ax)^2-(y+a)^2+2a(y+a)=0
即：2(ax)^2-(y+a)^2+2a(y+a)-a^2=-a^2
即：2(ax)^2-[(y+a)-a]^2=-a^2
即：2a^2x^2-y^2=-a^2,同除-a^2得：y^2/a^2-2x^2=1；
即：y^2/a^2-x^2/(1/2)=1
所以：点P轨迹曲线C方程是：y^2/a^2-x^2/(1/2)=1 （是一个双曲线）
第二小题：a=√2/2时,双曲线C为：y^2/(1/2)-x^2/(1/2)=1；焦点为（0,±1）
所以点E（0,1）是C的上焦点；设M(x1,y1),N(x2,y2)；分类：
（1）L斜率不存在时,易得M(0,√2/2),N(0,-√2/2)
此时得：EM向量·EN向量=1/2；
（2）L斜率存在时,设斜率为k,则L：y=kx+1；
（因为点E在双曲线的内部,所以除了不能等于渐近线的斜率外,不管k为何值,直线L与双曲线都恒有两个焦点,所以k^2≠1）
EM向量=(x1,y1-1),EN向量=(x2,y2-1),
所以：EM向量·EN向量=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1
因为点M,N在L上,所以：y1=kx1+1,y2=kx2+1；
则：y1y2=k^2*x1x2+k(x1+x2)+1,y1+y2=k(x1+x2)+2；
所以：EM向量·EN向量=(k^2+1)x1x2；
直线L与双曲线C联列方程：y=kx+1,y^2/(1/2)-x^2/(1/2)=1；
消去y得：(2k^2-2)x^2+4kx+1=0,韦达定理得：x1x2=1/(2k^2-2)；
所以：EM向量·EN向量=(k^2+1)/(2k^2-2)；
令EM向量·EN向量=y=(k^2+1)/(2k^2-2)；
2yk^2-2y=k^2+1,即(2y-1)k^2=2y+1,得：k^2=(2y+1)/(2y-1)
(2y+1)/(2y-1)恒不等于1；
则(2y+1)/(2y-1)≧0,即(2y+1)(2y-1)≧0,得y≦-1/2或y>1/2；
综上,EM向量·EN向量取值范围是：(-∞,-1/2]U[1/2,+∞)
如果不懂,请Hi我,