搜搜考试网【急】将函数的幂级数展开为泰勒级数的泰勒公式是什么?如果可以,请举例说明!
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 04:10:42
【急】将函数的幂级数展开为泰勒级数的泰勒公式是什么?如果可以,请举例说明!
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!]/(x-x0)∧2+.+[fn(x0)/n!](x-x0)∧n+...的右边为 f在x=0处得泰勒展开式
在实际应用上,主要讨论x0=0处的展开式
例如求f(x)=e ∧x 的展开式
由于fn(x)=e∧x,fn(0)=1,(n=1,2,3.)
所以f的拉格朗日余项为Rn(x)=[e∧(θx)/(n+1)!]·x∧(n+1),(0≤θ≤1)
显见|Rn(x)|≤[(e∧|x|)/(n+1)!]·|x|∧(n+1),
它对任何实数x都有lim[(e∧|x|)/(n+1)!]·|x|∧(n+1)=0
因而limRn(x)=0
所以f(x)=e ∧x =1+(1/1!)x+(1/2!)x∧2+.+(1/n!)x∧n+...,
在实际应用上,主要讨论x0=0处的展开式
例如求f(x)=e ∧x 的展开式
由于fn(x)=e∧x,fn(0)=1,(n=1,2,3.)
所以f的拉格朗日余项为Rn(x)=[e∧(θx)/(n+1)!]·x∧(n+1),(0≤θ≤1)
显见|Rn(x)|≤[(e∧|x|)/(n+1)!]·|x|∧(n+1),
它对任何实数x都有lim[(e∧|x|)/(n+1)!]·|x|∧(n+1)=0
因而limRn(x)=0
所以f(x)=e ∧x =1+(1/1!)x+(1/2!)x∧2+.+(1/n!)x∧n+...,