平面图形A由抛物线y=1/2x^2与y=1-1/2x^2围成,求A的周长与面积,若将A绕X轴一周,求此旋转体的体积

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/06 00:29:02

A是由形状相同、方向相反的两条抛物线围成,并且关于y轴对称.先求出A 的左右角点坐标.
由 1/2x^2=1-1/2x^2 得：x=±1,相应y=1/2;
A面积为:∫(1-1/2x^2-1/2x^2)dx=x-x^3/3,将积分上下限[1__-1]代入得A=4/3；
图形上下左右对称,故仅需计算其四分一之周长即可；以曲线y=1/2x^2在[x=0__1]段弧长为准,因 dy=y'dx=xdx,
故L=4∫√[(dy)^2+(dx)^2]=4∫√[(1+x^2)]dx=2{[x*(√(1+x^2))]+ln[x+(√(1+x^2))]},代入上下限得：L=2[√2+(ln(1+√2))]；
绕X轴旋转体是一类似救生圈的圆盘,积分域在A上,V=∫∫(2лy)dxdy=∫dx∫(2лy)dy ;
V=∫dx∫(2лy)dy=л∫dx(y^2),将y积分域上下限[1-1/2x^2__1/2x^2]代入得：
V=л∫[1-x^2] dx,对x积分并将上下限[1,0]代入得：
V=л[1-1/3]=2л/3

求抛物线y=x^2-1与X轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积Vy 求抛物线y^2=4x与直线x=1所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积Vy 求由抛物线y=1+x^2,x=0,x=1及y=0所围成的平面图形的面积,并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积. 设平面图形由y=1/2x平方与直线y=2所围成,求平面图形面积和绕X轴旋转一周所得到的旋转体的体积. 将抛物线y=2x^2在第一象限与y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周,求所得旋转体的体积? 将抛物线y=2x立方在第一象限与y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周,求所得旋转体体积求由曲线y=2-X^2 ,y=2X-1及X≥0围成的平面图形的面积S以及平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积Vx 55.由曲线y=(x-1)(x-2)和x轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积. 旋转体体积计算抛物线 x=5-y^2与直线 x=1 围成的图形绕 Y 轴旋转,求旋转体体积. 求曲线y=(x+1)(x+2)与x轴所围成图形的面积,并计算此图形绕y轴一周所得旋转体的体积设抛物线y^2=4x与直线y=x+1所围成的平面区域D,求D的面积和D绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积求由抛物线y=1-x² 与ox 轴所围成的平面图形面积及该图形绕ox 轴旋转一周形成的旋转体体积.