证明有无穷多的三角数是平方数
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/01 12:45:28
证明有无穷多的三角数是平方数
令Sn=1+2+3+4+……+n,有些三角数是平方数,如S8=6方,S49=35方,证明有无穷多的三角数是平方数.
令Sn=1+2+3+4+……+n,有些三角数是平方数,如S8=6方,S49=35方,证明有无穷多的三角数是平方数.
1.先介绍一下PELL方程:
n^2-dm^2=1.(1)
(其中n,m,d都是正整数,而且d不是平方数,其中d是以知数,n,m是未知数.)
这种方程是有我穷多组解的,而且有求解的通项公式.
如果n0,m0,和n1,m1是该方程的两组解,那么对于符合如下式子的整数n2,m2也是该方程的解;
n2+Tm2=(n0+Tm0)*(n1+Tm1).(2)
,其中T=根号d
以上结论极易证,利用n0,m0,以及n1,m1都符合(1)式,就能推出由(2)式得出的n2,m2也符合(1)式.
而且,我们假定n1和m1是该方程最小一组解,那么该方程的所有解n(i),m(i),都可以用以下式子表示
n(i)+Tm(i)=(n1+Tm1)^i
(这个证明挺烦琐,就不证了,反正不用证对解决本题无影响.)
从而有n(i)-Tm(i)=(n1-Tm1)^i
那么可以得出,
n(i)={(n1+Tm1)^i+(n1-Tm1)^i}/2
下面开始解本题
设SN=N(N+1)/2=m^2
上式即(2N+1)^2-8m^2=1
即证明上式所对应的PELL方程有无穷多解就可以了.
由上面讨论知,上式的所有N(i)有
N(i)={{(n1+Tm1)^i+(n1-Tm1)^i}/2-1}/2
其中n1=3,m1=1,T=根号8
N从小到大为1,8,49,288.以后的太大了,自己算吧...
注意该解答字母的大小写:)
n^2-dm^2=1.(1)
(其中n,m,d都是正整数,而且d不是平方数,其中d是以知数,n,m是未知数.)
这种方程是有我穷多组解的,而且有求解的通项公式.
如果n0,m0,和n1,m1是该方程的两组解,那么对于符合如下式子的整数n2,m2也是该方程的解;
n2+Tm2=(n0+Tm0)*(n1+Tm1).(2)
,其中T=根号d
以上结论极易证,利用n0,m0,以及n1,m1都符合(1)式,就能推出由(2)式得出的n2,m2也符合(1)式.
而且,我们假定n1和m1是该方程最小一组解,那么该方程的所有解n(i),m(i),都可以用以下式子表示
n(i)+Tm(i)=(n1+Tm1)^i
(这个证明挺烦琐,就不证了,反正不用证对解决本题无影响.)
从而有n(i)-Tm(i)=(n1-Tm1)^i
那么可以得出,
n(i)={(n1+Tm1)^i+(n1-Tm1)^i}/2
下面开始解本题
设SN=N(N+1)/2=m^2
上式即(2N+1)^2-8m^2=1
即证明上式所对应的PELL方程有无穷多解就可以了.
由上面讨论知,上式的所有N(i)有
N(i)={{(n1+Tm1)^i+(n1-Tm1)^i}/2-1}/2
其中n1=3,m1=1,T=根号8
N从小到大为1,8,49,288.以后的太大了,自己算吧...
注意该解答字母的大小写:)
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