函数在一点可导跟连续的条件

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/12 19:08:45

函数在一点可导跟连续的条件
老师说函数在一点可导的充分必要是这点的左右导数存在且相等.
那么连续的充分必要条件是左右导数相等且等于这点的函数值么?如果是的话,那岂不是只要是满足了连续的就必然可导嘛?(但是这个好像是不对的?）

可导一定连续,连续不一定可导.
可导要求一点左右导数存在且相等.
连续要求该点有定义,且其极限值等于函数值.
再问：这个我看图的确是连续不一定可导但是根据定义，在某点连续的充分必要条件是“该点左右导数相等且等于这点的函数值”不是包括了可导的条件“该点左右导数相等”？？
再答：并不是导数等于函数值，而是极限值等于函数值。函数是连续的充要条件是:1.在某一点有定义;2.在某一点有极限;3.极限值等于该点的函数值。在某一点可导不一定该点一定有定义，只要求左右导数存在且相等。
再问：额导数跟极限的差别就在了除了一个变化率对么？除了这个有没有其他什么实质性的不同？比如几何意义的话导数是表示切线然后表示的是变化率，那极限有没有什么之类的意义？不好意思我刚学，很多东西分得不是很清楚。
再答：首先函数的极限与这一点是否有定义是没有关系的；所以分清楚几个概念： 1、若函数连续，该点极限值等于该点函数值 2、若函数在该点不连续，那么极限值不等于函数值 3、若函数在该点无定义，那么只有该点极限值所以，函数的极限和函数本身在这一点的性质没有关系（这点要牢记）并且，若极限存在，最重要的一点是左右极限必须存在，而且相等 y=|x|/x；考虑左右极限，分别是-1和1(尽管0点没定义)；因为左右极限都存在，但是不相等；所以极限不存在，进一步考虑，0点是其第一类间断点

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