(2007•北京)已知:如图,A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于B点,OC=BC,AC=12OB.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/11 14:58:07
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/53/d53f2763ca794f7a96fac2645c74d04a.jpg)
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(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若∠ACD=45°,OC=2,求弦CD的长.
![(2007•北京)已知:如图,A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于B点,OC=BC,AC=12OB.](/uploads/image/z/17159794-34-4.jpg?t=%EF%BC%882007%E2%80%A2%E5%8C%97%E4%BA%AC%EF%BC%89%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%9A%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8CA%E6%98%AF%E2%8A%99O%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%EF%BC%8C%E5%8D%8A%E5%BE%84OC%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8E%E8%BF%87%E7%82%B9A%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E4%BA%8EB%E7%82%B9%EF%BC%8COC%3DBC%EF%BC%8CAC%3D12OB%EF%BC%8E)
(1)证明:如图,连接OA;
∵OC=BC,AC=
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2OB,![](http://img.wesiedu.com/upload/b/93/b93441fbae8fc8ab23d8957c60613a03.jpg)
∴OC=BC=AC=OA.
∴△ACO是等边三角形.
∴∠O=∠OCA=60°,
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠B,
又∠OCA为△ACB的外角,
∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B,
∴∠B=30°,又∠OAC=60°,
∴∠OAB=90°,
∴AB是⊙O的切线;
(2)作AE⊥CD于点E,
∵∠O=60°,
∴∠D=30°.
∵∠ACD=45°,AC=OC=2,
∴在Rt△ACE中,CE=AE=
2;
∵∠D=30°,
∴AD=2
2,
∴DE=
3AE=
6,
∴CD=DE+CE=
6+
2.
∵OC=BC,AC=
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2OB,
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/93/b93441fbae8fc8ab23d8957c60613a03.jpg)
∴OC=BC=AC=OA.
∴△ACO是等边三角形.
∴∠O=∠OCA=60°,
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠B,
又∠OCA为△ACB的外角,
∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B,
∴∠B=30°,又∠OAC=60°,
∴∠OAB=90°,
∴AB是⊙O的切线;
(2)作AE⊥CD于点E,
∵∠O=60°,
∴∠D=30°.
∵∠ACD=45°,AC=OC=2,
∴在Rt△ACE中,CE=AE=
2;
∵∠D=30°,
∴AD=2
2,
∴DE=
3AE=
6,
∴CD=DE+CE=
6+
2.