搜搜考试网力随速度变时时间到我问题（一个积分问题）
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：物理作业 时间：2024/06/18 01:54:15
力随速度变时时间到我问题（一个积分问题）
比如一个最简单的例子吧,雨滴下落的时候假设只考虑重力和空气阻力,空气阻力f=kv 若雨滴从形成开始到匀速下落,我们都知道根据力的平衡可以计算出来.假若我要计算加速到这个稳定速度的时间,就出现了一个神奇的现象：dt=dv/a ,其中a=（mg-kv)/m 根据这一步,要对时间积分,把a倒过来,再积分就必然要得到一个ln的函数,内部就是mg-kv,然而,到了最后,加速度是0,mg在平衡时应该等于kv,也就是说ln内部是0!这个时间不存在!或者换句话说,到了最后加速度无线接近0,就永远到不了那个极限速度,再换句话说就是要无限长的时间!诸如这种问题还有,比如汽车从0加速到稳定速度,到最后动力无限接近阻力,加速度也是无限小,这时候得到的ln函数内部也是0!还有线圈收到电磁感应运动受到安培力和重力作用,到最后也是ln内部是0莫非永远到不了这个速度?我感觉思想被颠覆了,我们高中一天到晚算的平衡速度什么的根本永远都到不了啊!是的确如此还是计算的特别处理?我想我的计算应该是没有错的啊,求教,对了重赏!
比如一个最简单的例子吧,雨滴下落的时候假设只考虑重力和空气阻力,空气阻力f=kv 若雨滴从形成开始到匀速下落,我们都知道根据力的平衡可以计算出来.假若我要计算加速到这个稳定速度的时间,就出现了一个神奇的现象：dt=dv/a ,其中a=（mg-kv)/m 根据这一步,要对时间积分,把a倒过来,再积分就必然要得到一个ln的函数,内部就是mg-kv,然而,到了最后,加速度是0,mg在平衡时应该等于kv,也就是说ln内部是0!这个时间不存在!或者换句话说,到了最后加速度无线接近0,就永远到不了那个极限速度,再换句话说就是要无限长的时间!诸如这种问题还有,比如汽车从0加速到稳定速度,到最后动力无限接近阻力,加速度也是无限小,这时候得到的ln函数内部也是0!还有线圈收到电磁感应运动受到安培力和重力作用,到最后也是ln内部是0莫非永远到不了这个速度?我感觉思想被颠覆了,我们高中一天到晚算的平衡速度什么的根本永远都到不了啊!是的确如此还是计算的特别处理?我想我的计算应该是没有错的啊,求教,对了重赏!
首先观察式子：dt=dv/a.该式子成立的条件就是a不等于0.也就是说,该数学表达式前提就已经是a不能等于0了,而之后你进行积分又假设加速度为0,这显然是矛盾的.
另外,积分内部并不为0.下面先完整解一下题目,再根据结果讨论其物理意义.首先有（假设k不为0）：
dt = m*dv/(mg-kv)=-m/k*d(mg-kv)/(mg-kv)
于是对两端积分后得到：
t = m/k*ln[1/(mg-kv)] + c………………（1）
其中c为待定常数.因为一开始（t=0）雨滴速度为0,所以：
c = -m/k*ln(1/mg)
将c代入（1）式得t的最终表达式：
t = m/k*ln[mg/(mg-kv)]
显然,kv不可能等于mg,也就是说绝对的平衡状态永远不能达到.然而,换个角度看：
v = mg/k*[1-exp(-t*k/m)]
因为exp(-t*k/m)对t来说属于指数型衰减,在正常情况下（k/m不太小）它很快就衰减很接近0,于是v很快就很接近mg/k,这时系统已经可看作是平衡了,于是系统就已经可以用重力平衡的方法来分析了.
再问： 恩，我的思路差不多就是这样.（就是因为开头的矛盾难以置信才问啊，一个问题的终态竟然超出自己的定义域）看起来我们看法是一致的，的确永远到不了. 我正在纠结以后看到求这种实际不存在的速度该怎么调整心态..........
再答： ������������ѧ���������Ǻܳ���ģ�ͨ����Ϊ���������磬���������ٶȽ������mg/k������ij���뽥��ﵽ��ũ�߽�ȵȣ�ij��������ij����ȵȡ�
另外,积分内部并不为0.下面先完整解一下题目,再根据结果讨论其物理意义.首先有（假设k不为0）：
dt = m*dv/(mg-kv)=-m/k*d(mg-kv)/(mg-kv)
于是对两端积分后得到：
t = m/k*ln[1/(mg-kv)] + c………………（1）
其中c为待定常数.因为一开始（t=0）雨滴速度为0,所以：
c = -m/k*ln(1/mg)
将c代入（1）式得t的最终表达式：
t = m/k*ln[mg/(mg-kv)]
显然,kv不可能等于mg,也就是说绝对的平衡状态永远不能达到.然而,换个角度看：
v = mg/k*[1-exp(-t*k/m)]
因为exp(-t*k/m)对t来说属于指数型衰减,在正常情况下（k/m不太小）它很快就衰减很接近0,于是v很快就很接近mg/k,这时系统已经可看作是平衡了,于是系统就已经可以用重力平衡的方法来分析了.
再问： 恩，我的思路差不多就是这样.（就是因为开头的矛盾难以置信才问啊，一个问题的终态竟然超出自己的定义域）看起来我们看法是一致的，的确永远到不了. 我正在纠结以后看到求这种实际不存在的速度该怎么调整心态..........
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