搜搜考试网高中数学中关于复合函数方面的问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：语文作业 时间：2024/06/08 04:42:16
高中数学中关于复合函数方面的问题
研究复合函数是为了把复杂的函数化成基本初等函数的简单形式.下面我对于一道题的分析过程错在哪呢?
如y=f(x)=1/(x-1),它是复杂函数(不是六类基本初等函数形式),现在我想把它化成基本初等函数形式,那么就是由两个基本初等函数组成,它们是①:y=f(u)=1/u,②:u=g(x)=x-1,①和②复合:y=f[g(x)]=1/g(x)=1/(x-1),我知道这是错的,那么错在哪呢?正确的分解过程是什么?谢谢
研究复合函数是为了把复杂的函数化成基本初等函数的简单形式.下面我对于一道题的分析过程错在哪呢?
如y=f(x)=1/(x-1),它是复杂函数(不是六类基本初等函数形式),现在我想把它化成基本初等函数形式,那么就是由两个基本初等函数组成,它们是①:y=f(u)=1/u,②:u=g(x)=x-1,①和②复合:y=f[g(x)]=1/g(x)=1/(x-1),我知道这是错的,那么错在哪呢?正确的分解过程是什么?谢谢
错误我看是这样的,仅供你参考：
f(x)=1/(x-1)与f(u)=1/u不是一个函数,为什么?对应关系不对（对应关系一样才是同一个函数）,如x=2时,第一式=1,第二式=1/2.但它们又都很像,图像上就沿X轴移动了一个单位,我们抹掉坐标系,两个图像实际上是一样的,除了位置有点变化,从这一点上说,他们都是同一类函数.
y=f[g(x)]=1/g(x)=1/(x-1)：这样是代不出东西的,也是无意义的,只能代出：f[x-1]=1/g(x)=1/(x-1)
根本的错误在于你对复合函数的认识.如：y=(x+Sinx)/Cosx,比你列的式子稍复杂一点,它就是把x、Sinx、Cosx这些基本函数通过算符组合在一起,无论再多复杂,最终,指定一个x,它给出了唯一的对应值,这才是最重要的,样子多复杂都不重要,顶多归纳化简一下即可,但像你的设想那样,套锅套盆（而且就6套）把他们串起来是没有意义的.
复合函数的真正意思是：y=f(u),u=p(x),打个比方说,你(x)写了这样一道题(a),就是x=a,百度知道上的大家(u)看到了,其中的我的回答（b）被选中,b=p(x),可能条件多挺复杂（p由许多基本函数经加减乘除组合出来）；我的回答（u=b）因为答的好,又被百度选中发表一次,在某某期某某挡中.总之这是两个因果过程,两个过程的对应（p、f）也许写出来挺复杂（按你说的是复杂的函数）,如f再复杂也是一个因果.用复合函数把复杂的函数化成基本初等函数的简单形式的想法,就像把一个因果拆成了两个或多个因果层次,这绝对是不对的.
总之,复合函数是针对一个因果链的表示与处理的,函数就是说一个因果关系是怎样的.
希望我能说的清楚,你也可以与同学讨论一下.
再问： 您的观点我不太赞同.f(x)=1/(x-1)中的f就是您说的因果关系(对应法则),这里的f就是把自变量x(f(x)中的x)先减1后的结果再倒数.如果把f(x)中的x换成x-1,如果f不变,就是您说得因果关系(对应规则没变),那么就是把x-1减1后再倒数,即f(x-1)=1/[(x-1)-1]=1/x
再答： 为了区别我换一个写法：f(x)=1/(x-1)，F(x-1)=1/x， f与F是否是一个函数，看对应关系 假设f()括号中的值是5，即x=5，则对应1/4 假设F()括号中的值是5，x-1=5,则对应1/6 所以f与F不同。不论括号中的写法多复杂，要整体看最终就是一个值，同样等号右边的表达式的写法多复杂，它最终也是一个值。改造等号左边括号中的表示与等号右边的表示，让大家能看的简单些（6类基本初等函数的嵌套或组合）没有什么意义。是一个式子看起来复杂啊，还是几个式子嵌套起来复杂啊，你琢磨一下。 你的f(x-1)=1/[(x-1)-1]=1/x写法有误，是f(x-1)=1/[(x-1)-1]=1/(x-2) 按此：f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)就都是一个意思。
再问： 您说f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)就都是一个意思。那么f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)就是同一个函数,?根据函数的三要素,f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)并不是一个意思,因为他们的定义域不一样,前面那个x≠1,后面那个x≠2,定义域都不一样,怎么说是一个意思呢?
再答： f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)都是一个意思的本意是：f(Good)=1/(Good-1)。将x-1与Good一样，看作一个词，没有将x-1中的x单独挑出来特殊对待。 要将x挑出来特殊对待也是可以的，那就是g(x)=x-1,这样的话，就写成f(g(x))=1/(g(x)-1)，这样，g(x)与Good仍然一样依旧是一个词。 具体说f(g(x))=1/(g(x)-1)与f(Good)=1/(Good-1)是不是同一个函数，就要看g(x)与Good的取值范围是否一致了，如一致就是同一个函数。 在这个例子中，g(x)与Good都不能等于1（f形式的制约），递推到第一个因果g(x)=x-1,所以x≠2。Good除了不能等于1没有什么约束，我们自己决定（随意定），假设Good=Sinx,则约束为[-1,1），x≠(π/2+2kπ），如果这样那就不是同一个函数（主要指f(g(x))与f(Good)）。 前文所说的“整体看”，就是将x-1、Good、g(x)都看作一个整体（一个词，一个符号），至于它们是否受别的约束，那是另一个事情。如果受x约束（x也不一定自由，也许还要受别的约束，这就又嵌套一层），那f就是复合函数：自己的定义域是另一个函数的值域，如此而已。 在f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)，你是将x作为这两个式子定义域的代表，这是错误的，至少第二个是错误的（这个x应是[随便编一个词]K(x)，第一式K(x)=x≠1，第二式K(x)=x-1≠1，x都是K(x)的定义域代表，不是f的，f的定义域只能找K），你再考虑一下。 不知上述我是否能够说清，可再追问。
f(x)=1/(x-1)与f(u)=1/u不是一个函数,为什么?对应关系不对（对应关系一样才是同一个函数）,如x=2时,第一式=1,第二式=1/2.但它们又都很像,图像上就沿X轴移动了一个单位,我们抹掉坐标系,两个图像实际上是一样的,除了位置有点变化,从这一点上说,他们都是同一类函数.
y=f[g(x)]=1/g(x)=1/(x-1)：这样是代不出东西的,也是无意义的,只能代出：f[x-1]=1/g(x)=1/(x-1)
根本的错误在于你对复合函数的认识.如：y=(x+Sinx)/Cosx,比你列的式子稍复杂一点,它就是把x、Sinx、Cosx这些基本函数通过算符组合在一起,无论再多复杂,最终,指定一个x,它给出了唯一的对应值,这才是最重要的,样子多复杂都不重要,顶多归纳化简一下即可,但像你的设想那样,套锅套盆（而且就6套）把他们串起来是没有意义的.
复合函数的真正意思是：y=f(u),u=p(x),打个比方说,你(x)写了这样一道题(a),就是x=a,百度知道上的大家(u)看到了,其中的我的回答（b）被选中,b=p(x),可能条件多挺复杂（p由许多基本函数经加减乘除组合出来）；我的回答（u=b）因为答的好,又被百度选中发表一次,在某某期某某挡中.总之这是两个因果过程,两个过程的对应（p、f）也许写出来挺复杂（按你说的是复杂的函数）,如f再复杂也是一个因果.用复合函数把复杂的函数化成基本初等函数的简单形式的想法,就像把一个因果拆成了两个或多个因果层次,这绝对是不对的.
总之,复合函数是针对一个因果链的表示与处理的,函数就是说一个因果关系是怎样的.
希望我能说的清楚,你也可以与同学讨论一下.
再问： 您的观点我不太赞同.f(x)=1/(x-1)中的f就是您说的因果关系(对应法则),这里的f就是把自变量x(f(x)中的x)先减1后的结果再倒数.如果把f(x)中的x换成x-1,如果f不变,就是您说得因果关系(对应规则没变),那么就是把x-1减1后再倒数,即f(x-1)=1/[(x-1)-1]=1/x
再答： 为了区别我换一个写法：f(x)=1/(x-1)，F(x-1)=1/x， f与F是否是一个函数，看对应关系 假设f()括号中的值是5，即x=5，则对应1/4 假设F()括号中的值是5，x-1=5,则对应1/6 所以f与F不同。不论括号中的写法多复杂，要整体看最终就是一个值，同样等号右边的表达式的写法多复杂，它最终也是一个值。改造等号左边括号中的表示与等号右边的表示，让大家能看的简单些（6类基本初等函数的嵌套或组合）没有什么意义。是一个式子看起来复杂啊，还是几个式子嵌套起来复杂啊，你琢磨一下。 你的f(x-1)=1/[(x-1)-1]=1/x写法有误，是f(x-1)=1/[(x-1)-1]=1/(x-2) 按此：f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)就都是一个意思。
再问： 您说f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)就都是一个意思。那么f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)就是同一个函数,?根据函数的三要素,f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)并不是一个意思,因为他们的定义域不一样,前面那个x≠1,后面那个x≠2,定义域都不一样,怎么说是一个意思呢?
再答： f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)都是一个意思的本意是：f(Good)=1/(Good-1)。将x-1与Good一样，看作一个词，没有将x-1中的x单独挑出来特殊对待。 要将x挑出来特殊对待也是可以的，那就是g(x)=x-1,这样的话，就写成f(g(x))=1/(g(x)-1)，这样，g(x)与Good仍然一样依旧是一个词。 具体说f(g(x))=1/(g(x)-1)与f(Good)=1/(Good-1)是不是同一个函数，就要看g(x)与Good的取值范围是否一致了，如一致就是同一个函数。 在这个例子中，g(x)与Good都不能等于1（f形式的制约），递推到第一个因果g(x)=x-1,所以x≠2。Good除了不能等于1没有什么约束，我们自己决定（随意定），假设Good=Sinx,则约束为[-1,1），x≠(π/2+2kπ），如果这样那就不是同一个函数（主要指f(g(x))与f(Good)）。 前文所说的“整体看”，就是将x-1、Good、g(x)都看作一个整体（一个词，一个符号），至于它们是否受别的约束，那是另一个事情。如果受x约束（x也不一定自由，也许还要受别的约束，这就又嵌套一层），那f就是复合函数：自己的定义域是另一个函数的值域，如此而已。 在f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)，你是将x作为这两个式子定义域的代表，这是错误的，至少第二个是错误的（这个x应是[随便编一个词]K(x)，第一式K(x)=x≠1，第二式K(x)=x-1≠1，x都是K(x)的定义域代表，不是f的，f的定义域只能找K），你再考虑一下。 不知上述我是否能够说清，可再追问。