已知a,b,c为△ABC三边,且a+b+c=1,求证：13/27≤a^2+b^2+c^2+4abc＜1/2

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/09 15:57:17

已知a,b,c为△ABC三边,且a+b+c=1,求证：13/27≤a^2+b^2+c^2+4abc＜1/2
已知a,b,c为△ABC三边,且a+b+c=1
求证：13/27≤a^2+b^2+c^2+4abc＜1/2

左端：
首先注意到[直接计算]
a^2 + b^2 + 4abc - (1/2)(a+b)^2 - c(a+b)^2 = (1/2) (a-b)^2 (1-2c) >=0
[a、b、c构成三角形,故c= (1/2)(a+b)^2 + c^2 + c(a+b)^2
而a+b+c=1,故上式右端化为：
(1/2)(1-c)^2 + c^2 + c(1-c)^2 = (1/2) - (1/2)c^2(1-2c) >= 13/27
[最后一步是将c^2(1-2c)看作c*c*(1-2c),用平均值不等式]
右端：
a、b、c构成三角形,故
(a-b)^2 < c^2
=> (a+b)^2 - c^2 < 4ab [配方]
=> (a+b+c)(a+b-c) < 4ab [平方差公式]
=> 1-2c < 4ab [a+b+c=1]
=> 2c-1+4ab > 0 [移项]
=> (1/2)(2c-1)(2c-1+4ab) < 0 [同前,(2c-1) < 0]
=> (1/2)(2c-1)(2c-1+4ab) + (1/2) < (1/2) [两边同加(1/2)]
=> (1/2)(2c-1)^2 + (1/2) + 2ab(2c-1) < (1/2) [展开]
=> (1-c)^2 + c^2 + 4abc - 2ab < (1/2) [配方、展开]
=> (a+b)^2 + c^2 + 4abc - 2ab < (1/2) [a+b+c=1]
即得所求

已知a,b,c为△ABC的三边,求证:a^2+b^2+c^2 已知a,b,c为三角形ABC三边,求证:a^2+b^2+c^2 已知a,b,c为三角形ABC的三边,(a-c):(a+b):(c-d)= -2:7:1,且a+b+c=24,试判断三角形已知a,b,c为三角形ABC的三边,且（a-b):(a+b):(c-b)=-2:7:1,试判断三角形ABC的形状, 已知：a.b.c为三角形ABC三边,且a+b=c+2=ab-c,求证：三角形ABC是直角三角形? 已知a,b,c是△ABC三边,且（a-c):(a+b):(c-b)=-2:7:1,试判断△ABC的形状. 1.已知△ABC,三边的边长分别为a,b,c, 且 a + b + c = 4 ,ab = 1 ,c 2 = 已知a,b,c为三角形ABC的三边,(a-c):(a+b):(c-b)=-2:7:1,试判断△ABc的形状, 已知三角形ABC的周长为24,三边为A,B,C且A+B=2B,2A-B=2C,求A.B.C. 已知三角形ABC的三边a、b、c满足a²+b+/√(c-1)-2/=10a+2√(b-4)-22,则△ABC为已知△ABC的周长为27,a,b,c为三角形的三边,且b+c=2a,c=2分之1b,求a,b,c的值已知：△ABC的三边a,b,c.且满足3（a2+b2+c2）=(a+b+c)2,求证：此三角形为等边三角形