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有理数指数幂证明证明a^b*a^c=a^(b*c)(a^b)^c=a^(bc)(ab)^c=a^c*b^c在有理数适用,

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 08:05:26
有理数指数幂证明
证明a^b*a^c=a^(b*c)
(a^b)^c=a^(bc)
(ab)^c=a^c*b^c
在有理数适用,要求证明严格完整准确.
打错，a^b*a^c=a^(b+c) 定理是在整数范围
现在证明的是有理数范围！
再加上教科书要求证明！
定理是在整数范围
a^b*a^c=a^(b+c)
(a^b)^c=a^(bc)
(ab)^c=a^c*b^c
都成立，要求证明a^b*a^c=a^(b+c)
(a^b)^c=a^(bc)
(ab)^c=a^c*b^c
在有理数适用，
在无理数适用还需要用微积分来证明的！
不要以为很简单！
有理数指数幂证明证明a^b*a^c=a^(b*c)(a^b)^c=a^(bc)(ab)^c=a^c*b^c在有理数适用,
证明这三个命题之前,首先可以确认,
a^b*a^c=a^(b+c)
(a^b)^c=a^(bc)
在b,c是整数时成立
(a*b)^c=a^c*b^c在c为整数时成立
证明和a是整数是完全一样,不再赘述
1.
由b,c有理数,设b=u/v,c=x/y,(u,v)=1,(x,y)=1
a^b*a^c=a(u/v)*a(x/y)
设s=a(u/v),t=a(x/y)
s^v=a^u,t^y=a^x
s^vy=a^uy,t^vy=a^xv
所以s^vy*t^vy=(st)^vy=a^uy*a^vx=a^(uy+vx)
st=a^((uy+vx)/vy)=a^(u/v+x/y)=a^(b+c)
得证
2.
设b=u/v,c=x/y,(u,v)=1,(x,y)=1
(a^b)^c=(a^(u/v))^(x/y)设为t
t^y=(a^(u/v)^x
设s=(a^(u/v))
那么s^v=a^u
s^vx=a^ux=(s^x)^v=(t^y)^v=t^(yv)
所以t=a^(ux/yv)=a^(bc),得证
3.
设c=x/y,(x,y)=1
设(ab)^c=t
(ab)^(x/y)=t
(ab)^x=t^y=a^x*b^x
当m,n是有理数,y是整数时,(mn)^(1/y)=m^(1/y)*n^(1/y)仍成立
因左边^y=mn,右边^y=(m^(1/y)^y)*(n^(1/y))^y=mn
所以t=(a^x*b^x)^(1/y)=(a^x)^(1/y)*(b^x)^(1/y)=a^(x/y)*^b(x/y)=a^c*b^c
所以(ab)^c=a^c*b^c,得证
如何证明（a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a) 证明 +(a-b)(b-c)(c-a)/(a+b)(b+c)(c+a)=0 行列式证明|b+c c+a a+b| | a b c||a+b b+c c+a| = 2 |c a b||c+a a+b 已知a,b,c为有理数,满足ab+ac+bc不等于0,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)= 已知a,b,c为有理数,满足ab+bc+ac不等于0,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)= 如果a,b,c为非零有理数,且a+b+c=0,试求|a|*b/a*|b|+|b|*c/b*|c|+|c|*a/c*|a| a,b,c为非零有理数,且a+b+c=0,求|a|b/a|b|+|b|c/|c|b+|c|a/|a|c+abc/|abc a,b,c属于R+ ,a+b+c=1 证明bc/a +ac/b +ab/c>=1 设a、b、c是非零有理数|a|/a+|b|/b+|c|/c=|abc|/abc a.b.c都是有理数 （a+b+c)的平方=3(ab+bc+ac) 证明a=b=c 任意集合A B C 证明 (A∪B)- (B∪C) = A-B-C