搜搜考试网初二有关勾股定理一道证明题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 13:30:52
初二有关勾股定理一道证明题
如图,在正方形ABCD中,将一块等腰直角三角的锐角顶点与A点重合,当三角板绕着点A旋转时,则锐角的两边始终与对角线相交,交点为M、N,且与边BC相交于E,与边CD相交于F,探究
(1)EF、BE、DF的关系,并加以证明；
（2）MB、MN、ND的关系,并加以证明
（3）若旋转到一定程度,锐角的两边与对角线BD所在直线相交于M、N,且与BC、CD（或延长线）交于E、F,其他条件不变,则上述两个结论还成立吗?请说明理由.（要求自己画图）
如图,在正方形ABCD中,将一块等腰直角三角的锐角顶点与A点重合,当三角板绕着点A旋转时,则锐角的两边始终与对角线相交,交点为M、N,且与边BC相交于E,与边CD相交于F,探究
(1)EF、BE、DF的关系,并加以证明；
（2）MB、MN、ND的关系,并加以证明
（3）若旋转到一定程度,锐角的两边与对角线BD所在直线相交于M、N,且与BC、CD（或延长线）交于E、F,其他条件不变,则上述两个结论还成立吗?请说明理由.（要求自己画图）
（1）EF=BE+DF
证明：如图1,延长CB至P,使BP=DF,连接AP,∵AB=AD,∠ABP=∠ADF,BP=DF,∴△ABP≌△ADF,∴AP=AF,∠1=∠3,∵∠2+∠3=45°,∴∠1+∠2=45°,∴∠PAE=∠FAE,又∵AP=AF,AE=AE,∴△PAE≌△FAE ,∴PE=EF,即PB+BE=EF,∴EF=BE+DF
（2）MB2+ND2=MN2
证明：如图2,在AP上截取AQ=AN,连接BQ,MQ,∵AB=AD,∠1=∠3,AQ=AN,∴△ABQ≌△ADN,∴BQ=DN,∠4=∠5=45°,∠4+∠6=90°,又∵∠QAM=∠NAM, AQ=AN,AM=AM,∴△QAM≌△NAM ,∴QM=MN,在Rt△QBM中,QB2+BM2=QM2 ,∴MB2+ND2=MN2
（3）EF=DF- BE
由（1）可得△PAE≌△FAE ,∴PE=EF,即PB-BE=EF,∴EF=DF- BE
MB2+ND2=MN2,证明方法同（1）
证明：如图1,延长CB至P,使BP=DF,连接AP,∵AB=AD,∠ABP=∠ADF,BP=DF,∴△ABP≌△ADF,∴AP=AF,∠1=∠3,∵∠2+∠3=45°,∴∠1+∠2=45°,∴∠PAE=∠FAE,又∵AP=AF,AE=AE,∴△PAE≌△FAE ,∴PE=EF,即PB+BE=EF,∴EF=BE+DF
（2）MB2+ND2=MN2
证明：如图2,在AP上截取AQ=AN,连接BQ,MQ,∵AB=AD,∠1=∠3,AQ=AN,∴△ABQ≌△ADN,∴BQ=DN,∠4=∠5=45°,∠4+∠6=90°,又∵∠QAM=∠NAM, AQ=AN,AM=AM,∴△QAM≌△NAM ,∴QM=MN,在Rt△QBM中,QB2+BM2=QM2 ,∴MB2+ND2=MN2
（3）EF=DF- BE
由（1）可得△PAE≌△FAE ,∴PE=EF,即PB-BE=EF,∴EF=DF- BE
MB2+ND2=MN2,证明方法同（1）