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设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，…），

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/12 23:43:30
设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，…），
证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）
设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，…），
证明：（必要性）
设是{an}公差为d1的等差数列，则
bn+1-bn=（an+1-an+3）-（an-an+2）=（an+1-an）-（an+3-an+2）=d1-d1=0
所以bn≤bn+1（n=1，2，3，）成立．
又cn+1-cn=（an+1-an）+2（an+2-an+1）+3（an+3-an+2）=d1+2d1+3d1=6d1（常数）（n=1，2，3，）
所以数列{cn}为等差数列．
（充分性）
设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn+1（n=1，2，3，）
∵cn=an+2an+1+3an+2①
∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4②
①-②得cn-cn+2=（an-an+2）+2（an+1-an+3）+3（an+2-an+4）=bn+2bn+1+3bn+2
∵cn-cn+2=（cn-cn+1）+（cn+1-cn+2）=-2d2
∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2③
从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2④
④-③得（bn+1-bn）+2（bn+2-bn+1）+3（bn+3-bn+2）=0⑤
∵bn+1-bn≥0，bn+2-bn+1≥0，bn+3-bn+2≥0，
∴由⑤得bn+1-bn=0（n=1，2，3，），
由此不妨设bn=d3（n=1，2，3，）
则an-an+2=d3（常数）．
由此cn=an+2an+1+3an+2=cn=4an+2an+1-3d3
从而cn+1=4an+1+2an+2-5d3，
两式相减得cn+1-cn=2（an+1-an）-2d3
因此an+1−an＝
1
2(cc+1−cc)+d3＝
1
2d2+d3（常数）（n=1，2，3，）
所以数列{an}公差等差数列．
综上所述：：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）
已知数列an,bn,cn满足[a(n+1)-an][b(n+1)-bn]=cn 数列an满足a1=2an+1=2n+1an/【(n+1/2)an+1+2n】（1）bn=2n/an求bn通向（2）设cn 已知数列an,bn,cn满足[a(n+1)-an][b(n+1)-bn]=cn 若数列an的通项公式为an=2n-1 设 已知数列an=4n-2和bn=2/4^(n-1),设Cn=an/bn,求数列{Cn}的前n项和Tn 数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2设bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列,设cn=an/3n-1, 设数列{an}的前n项和为Sn=2an-4,bn=log2an,cn=1/bn^2,求证：数列{an}是等比数列? 已知数列{an}中a1=1 an+1=3an 数列{bn}的前几项和Sn=n^2+2n,设cn=an*bn,求Tn=C1 数列AN满足A1=2,AN+1=AN^2+6AN+6,设CN=LOG5(AN+3),证｛CN}为等比 数列an中,a1=3,an=(3an-1-2)/an-1,数列bn满足bn=an-2/1-an,证明bn是等比数列 2. 已知数列{an}的通项an=2n,{bn}的通项为bn=(1/3)＾n,令cn=an*bn,求{cn}的前n项和 己知数列｛an｝是首项a1=1/2,公比q=1/2的等比数列,设bn+2=3log1/2an,数列｛Cn｝满足Cn=an 已知数列an满足a1=2,an+1-2an+1=0,记bn=an-1.,设cn=lg(2an+1-an-1),证明数列c