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请大家解决一道高二椭圆的题

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 11:34:29
请大家解决一道高二椭圆的题
已知椭圆方程是 （X^2）/3 + Y^2 =1 离心率是根号6/3 短轴一个端点到右焦点的距离是根号3 设一条直线L,过椭圆,且交与A、B两点.坐标原点到L的距离是 根号3/2,求三角形AOB的面积的最大值.
最好能给出解题思路或过程.
请大家解决一道高二椭圆的题
设直线方程为y=k*x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),则由点到直线的距离的公式,得
|b|/(k^2+1)^(1/2)=3^(1/2)/2
即：4*b^2=3*(k^2+1)
解方程组
y=k*x+b
x^2/3 + y^2 =1
得（韦达定理）
x1+x2=-(6kb)/(3*k^2+1)
x1*x2=3(b^2-1)/(3*k^2+1)
由此并利用4*b^2=3*(k^2+1)得
(x1-x2)^2=(27*k^2+3)/(3*k^2+1)^2
(y1-y2)^2=k^2*(27*k^2+3)/(3*k^2+1)^2
从而
SΔAOB=3^(1/2)/2*((27*k^2+3)/(3*k^2+1)^2+k^2*(27*k^2+3)/(3*k^2+1)^2)^(1/2)
=3^(1/2)/2*((27*k^4+30*k^2+3)/(3*k^2+1)^2)^(1/2)
=3^(1/2)/2*(3+(12*k^2+3)/(3*k^2+1)^2)^(1/2)
设t=3*k^2+1,则t>=1且
SΔAOB=3^(1/2)/2*(3+(4*t-1)/t^2)^(1/2)
注意到f(t)=(4*t-1)/t^2在t>=1是一个单调减函数,那么最大值只能在t=1取得
即SΔAOB最大为3*2^(1/2)/2.
注：几何直观也是这样,此时k=0,b=3^(1/2)/2.
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