搜搜考试网一道入门级极限题!（200分大酬宾!）
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/03 19:03:50
一道入门级极限题!（200分大酬宾!）
连乘号 (1+1/n^2)
(n=1 到正无穷)
我们知道
(1+1/n)^n n无穷 极限是e
我们知道 1+1/n 极限也是1 那么 无穷多个1乘起来是1吗？只有天知道...
各位哥哥姐姐弟弟妹妹 ..
我们根据定积分的定义，积分（0到1）[ln(1+1/x^2)]^x
=(ln(1+1/(1/n)^2))^(1/n)+...+(ln(1+1/(k/n)^2))^(k/n)+=(ln(1+1/(n/n)^2))^(n/n) n正无穷...
并且显然 第一项已经是2 每项都大于1 2和这么多大于1的数相乘...
连乘号 (1+1/n^2)
(n=1 到正无穷)
我们知道
(1+1/n)^n n无穷 极限是e
我们知道 1+1/n 极限也是1 那么 无穷多个1乘起来是1吗？只有天知道...
各位哥哥姐姐弟弟妹妹 ..
我们根据定积分的定义，积分（0到1）[ln(1+1/x^2)]^x
=(ln(1+1/(1/n)^2))^(1/n)+...+(ln(1+1/(k/n)^2))^(k/n)+=(ln(1+1/(n/n)^2))^(n/n) n正无穷...
并且显然 第一项已经是2 每项都大于1 2和这么多大于1的数相乘...
昏……lz你这题可以用利用公式sinπt/(πt)=连乘n从1到无穷(1-t^2/n^2)来做：在里面令t=i,就有:连乘n从1到无穷(1+1/n^2)=(e^(iπt)-e^(-iπt))/(2iπt)|(t=i)=(e^(-π)-e^(π))/(-2π)=(e^π-e^(-π))/(2π).那么问题是这个公式怎么来的?
首先利用cos(2n+1)x+isin(2n+1)x=e^(i(2n+1)x)=(cosx+isinx)^(2n+1)=∑C(2n+1,k)(cosx)^k(isinx)^(2n+1-k),两端比较虚部得sin(2n+1)x=sinx∑C(2n+1,2k)(1-(sinx)^2)^k*(-1)^(n-k)*((sinx)^2)^(n-k)
由此可见sin(2n+1)x=sinxP((sinx)^2).其中P(t)是关于t的n次多项式,具体形式比较恶心,但不难知道P(x)的常数项是2n+1
当xk=kπ/(2n+1)(k=1,2,...,n)时,都有sin(2n+1)x=0,sinx不等于0.所以P((sin(xk))^2).由此可见sin(kπ/(2n+1))^2这n个数都是P(t)=0的根.但是P是n次多项式,他最多才n个根,所以这些就是P的所有根.所以P有如下分解形式：P(t)=(2n+1)连乘(1-t/sin(kπ/(2n+1))^2)
于是sin(2n+1)x=sinxP((sinx)^2)=(2n+1)sinx连乘(1-(sinx)^2/sin(kπ/(2n+1))^2).把x用x/(2n+1)代入：sinx=(2n+1)sin(x/(2n+1))连乘(1-(sinx/(2n+1))^2/sin(kπ/(2n+1))^2). -------(1)
关键在于(1)式.右边令n趋于正无穷,则=(2n+1)sin(x/(2n+1))趋于x,(1-(sinx/(2n+1))^2/sin(kπ/(2n+1))^2)趋于1-x^2/(kπ)^2
所以sinx=x连乘(1-x^2/(kπ)^2). --------(2)
再把x换成πx就行了.
不过,由(1)得到(2)的这一步我写得不严谨,严谨证明过程lz还是去参看菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》第二卷,级数那一章吧.这个公式好像是欧拉发现的
首先利用cos(2n+1)x+isin(2n+1)x=e^(i(2n+1)x)=(cosx+isinx)^(2n+1)=∑C(2n+1,k)(cosx)^k(isinx)^(2n+1-k),两端比较虚部得sin(2n+1)x=sinx∑C(2n+1,2k)(1-(sinx)^2)^k*(-1)^(n-k)*((sinx)^2)^(n-k)
由此可见sin(2n+1)x=sinxP((sinx)^2).其中P(t)是关于t的n次多项式,具体形式比较恶心,但不难知道P(x)的常数项是2n+1
当xk=kπ/(2n+1)(k=1,2,...,n)时,都有sin(2n+1)x=0,sinx不等于0.所以P((sin(xk))^2).由此可见sin(kπ/(2n+1))^2这n个数都是P(t)=0的根.但是P是n次多项式,他最多才n个根,所以这些就是P的所有根.所以P有如下分解形式：P(t)=(2n+1)连乘(1-t/sin(kπ/(2n+1))^2)
于是sin(2n+1)x=sinxP((sinx)^2)=(2n+1)sinx连乘(1-(sinx)^2/sin(kπ/(2n+1))^2).把x用x/(2n+1)代入：sinx=(2n+1)sin(x/(2n+1))连乘(1-(sinx/(2n+1))^2/sin(kπ/(2n+1))^2). -------(1)
关键在于(1)式.右边令n趋于正无穷,则=(2n+1)sin(x/(2n+1))趋于x,(1-(sinx/(2n+1))^2/sin(kπ/(2n+1))^2)趋于1-x^2/(kπ)^2
所以sinx=x连乘(1-x^2/(kπ)^2). --------(2)
再把x换成πx就行了.
不过,由(1)得到(2)的这一步我写得不严谨,严谨证明过程lz还是去参看菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》第二卷,级数那一章吧.这个公式好像是欧拉发现的