已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）急

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/12 18:31:15

已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）急
已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）,其中α,β为常数,且满足0＜α＜β＜π.对于任意实数x,是否存在α,β,使得f（x）是与x无关的定值?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.

f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）
=1/2(1+cos2x)+1/2[1+cos(2x+2α)/+1/2[1+cos(2x+2β)]
=3/2+1/2cos2x+1/2cos(2x+2α)+1/2cos(2x+2β)
=3/2+1/2cos2x+1/2cos2xcos2α-1/2sin2xsin2α+1/2cos2xcos2β-1/2sin2xsin2β
=3/2+1/2(1+cos2α+cos2β)cos2x-1/2(sin2α+sin2β)sin2x
若f(x)的值与x无关则需
1+cos2α+cos2β=0且sin2α+sin2β=0
sin2α+sin2β=0得sin2α=sin(-2β),
∴2α=-2β+2kπ或2α=2kπ+π+2β,k∈Z
若2α=-2β+2kπ,
则cos(2kπ-2β)+cos2β=-1
∴cos2β=-1/2,
∵0＜α＜β＜π.∴0＜2α＜2β＜π
∴2β=2π/3 或2β=4π/3
那么β=π/3 或β=2π/3
若β=π/3,α= π-β=2π/3,不合题意
若β=2π/3,α= π-β=π/3符合题意.
若2α=2kπ+π+2β,
cos2α=-cos2β,cos2α+cos2β+1=0矛盾.
所以,符合条件的α,β存在,
α=π/3,β=2π/3
再问：请问为什么由 f（x）=3/2+1/2(1+cos2α+cos2β)cos2x-1/2(sin2α+sin2β)sin2x 可以得出 f(x)的值与x无关？
再答： sin2x和cos2x是变量，若f(x)为定值则需sin2x与cos2x的系数均为0 即1+cos2α+cos2β=0且sin2α+sin2β=0
再问：这个......拿题设做条件可以么？
再答：什意思，所有的推导都是根据题设的条件进行的，但必须要先转化，将常量α，β与变量x分开。

已知函数f（X）=2sinx[1-cos(π/2+x）]+2cos²x-1 已知函数f(x)=cos(2x-π\3)+sin²x-cos²x 已知函数f（x）=cos²x+根号3sinxcosx+1,x∈R 已知函数f(x)=根号3cos(π/2-2x)+2cos²x+2（1）求函数f(x)的最小正周期急已知函数f(x)=sin2x-2cos²x(x∈R)（1）求函数f(x)的最小正周期已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x 1. 已知函数f（x）=-2sinx*cosx+2cos²x+1 已知函数f（x）=根号三cos²x+sinxcosx-根号三/2 已知函数f(x)=cos²x+sinxcosx.（1）求函数f(x)的最大值; 已知函数f（x）=根号3*sin（x/4）cos(x/4)+cos²(x/4)-1/2 已知函数f(x)=根号3cos（-π-x/2）sin（3π+x/2）-cos² x/2+1 已知函数f(x)=2sin(x+5π/24)cos(x+5π/24)-2cos²(x+5π/24）+1