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（2011•常德）已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O 1 ，O 2 ，P是AB的中点，

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 19:25:46
（2011•常德）已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O 1 ，O 2 ，P是AB的中点，
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在 ， 上分别取点E、F，使∠AO 1 E=∠BO 2 F ，则有结论①△PO 1 E≌△FO 2 P，②四边形PO 1 CO 2 是菱形，请给出结论②的证明；
（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；
（3）如图3，若PC是⊙O 1 的切线，求证：AB 2 =BC 2 +3AC 2 ．
（2011•常德）已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O 1 ，O 2 ，P是AB的中点，
（1））∵P、O 1 、O 2 分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO 1 =BO 2 ，PO 1 BC，PO 2 AC，
∴四边形PO 1 CO 2 是平行四边形，
∵AC=BC，∴PO 1 =PO 2 ，
∴四边形PO 1 CO 2 是菱形；
（2）∵P、O 1 、O 2 分别为AB、AC、BC的中点，∴AP=BP，AO 1 =BO 2 ，PO 1 BC，PO 2 AC，
即PO 1 =BO 2 ，AO 1 =PO 2 ，
∴△APO 1 ≌△BPO 2 ；
（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，
∴c 2 =a 2 +b 2 ；AB 2 =4c 2 =4（a 2 +b 2 ），
过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．

∴CD=a，BD=2b，BC 2 =a 2 +4b 2 ，
∴BC 2 +3AC 2 =a 2 +4b 2 +3a 2 =4（a 2 +b 2 ），
∴AB 2 =BC 2 +3AC 2 ．

略
已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E． （2014•白银）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE 已知，如图，在三角形ABC中，AB=AC。以腰AB为直径作半圆O，分别交BC,AC于点D,E 问 如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E.过半圆上一点F作半 （2006•韶关）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为23 （2013•高淳县一模）如图，在△ABC中，AB=AC，cosA=45．以AB为直径作半圆，圆心为O，半圆分别交BC、A 如图,O为等腰三角形ABC的底边AB的中点,以AB为直径的半圆分别交AC, BC于点E, 已知：如图，以△ABC的一边BC为直径作半圆，交AB于E，过E点作半圆O的切线恰与AC垂直，试确定边BC与AC的大小关系 （2013•滨湖区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=22，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与 如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为 2 3 如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为 2 3 ． 已知：如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点（异于A、B）,过点P作作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线