已知函数F(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d可以分解为一个奇函数f(x)与一个偶函数g(x)之和且对任意x属于
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/14 14:06:58
已知函数F(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d可以分解为一个奇函数f(x)与一个偶函数g(x)之和且对任意x属于-根号2到根号2(闭区间),恒有F(x)绝对值小于0.5
(1)g(根号2)+g(0)-2g(1)=?
(2)求证a+c=0
(3)若方程f(x)=((a^2)*x+a)/(x^2+1)在x属于-2到正无穷(半闭区间)上恰有三个不同的实数解,求a的取值范围.
(1)g(根号2)+g(0)-2g(1)=?
(2)求证a+c=0
(3)若方程f(x)=((a^2)*x+a)/(x^2+1)在x属于-2到正无穷(半闭区间)上恰有三个不同的实数解,求a的取值范围.
F(x)=f(x)+g(x) F(-x)=f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)
F(x)+F(-x)=2g(x) 则 g(x)=x^4+bx^2+d f(x)=ax^3+cx
1、g(根号2)=4+2b+d g(0)=d g(1)=1+b+d
g(根号2)+g(0)-2g(1)=4+2b+d+d-2(1+b+d)=2
2、先说明下,条件"对任意x属于-根号2到根号2(闭区间),恒有F(x)绝对值小于0.5"应为"恒有F(x)绝对值小于等于0.5"
x属于-根号2到根号2(闭区间)时,
\2g(x)\=\F(x)+F(-x)\≤\F(x)\+\F(-x)\≤1 \g(x)\≤0.5
则有 \g(根号2)\≤0.5 \g(0)\≤0.5 \g(1)\≤0.5
由第1问知道 g(根号2)+g(0)-2g(1)=2≤\g(根号2)\+\g(0)\+2\g(1)\≤2
不等式等号成立的条件是 g(根号2)=g(0)=0.5 g(1)=-0.5
因此解出 b=-2,d=0.5
-0.5≤F(1)≤0.5 且 -0.5≤F(-1)≤0.5
-0.5≤1+a+b+c+d≤0.5 且 -0.5≤1-a+b-c+d≤0.5
将b=-2,d=0.5代入上面两个不等得: 0≤a+c≤1 且 -1≤a+c≤0
所以a+c=0
注:此问的关键在于分析第一问与所给条件的关系,2是4倍的0.5,等式左边也刚好是4个数,解法自然出现了.(一般这种题目第一问都是对下面的提示,以后再做这种题目就应该注意了.但不要拘泥于此,下次如果这种方法行不通,应该立刻想别的办法,要保持思维的发散!)
3、f(x)=a(x^3-x)
a=0时,f(x)=0 原方程为 0=x/(x^2+1) 只有一个解x=0 不符合条件,舍去
a不等于0时,原方程为:a(x^3-x)=[a(ax+1)]/(x^2+1)
(x^3-x)(x^2+1)=ax+1 即 x^5-(a+1)x-1=0 令T(x)=x^5-(a+1)x-1
T(X)的导函数为K(x)=5x^4-(a+1)
a=-1时,方程x^5-1=0只有x=1一个解,不符合,舍去
a0,T(x)在[-2,正无穷)上为增函数,方程T(x)=0最多有一个解,不符合,舍去
a>-1且a不等于0时,由K(x)=0解得X=[(a+1)/5]^(1/4)或X=-[(a+1)/5]^(1/4)
则可知T(x)在[-2,-{(a+1)/5}^(1/4)]上为增函数,
在[-{(a+1)/5}^(1/4),{(a+1)/5}^(1/4)]上为减函数,
在[{(a+1)/5}^(1/4),正无穷)上为增函数.
方程T(x)=0的三个解必在T(x)的三个单调区间上
则有:T(-2)≤0,T(-[(a+1)/5]^(1/4))>0,T([(a+1)/5]^(1/4))1/4 即 a>-1+5/256^(1/5),
所以a的取值范围是(-1+5/256^(1/5),0)并(0,31/2)
F(x)+F(-x)=2g(x) 则 g(x)=x^4+bx^2+d f(x)=ax^3+cx
1、g(根号2)=4+2b+d g(0)=d g(1)=1+b+d
g(根号2)+g(0)-2g(1)=4+2b+d+d-2(1+b+d)=2
2、先说明下,条件"对任意x属于-根号2到根号2(闭区间),恒有F(x)绝对值小于0.5"应为"恒有F(x)绝对值小于等于0.5"
x属于-根号2到根号2(闭区间)时,
\2g(x)\=\F(x)+F(-x)\≤\F(x)\+\F(-x)\≤1 \g(x)\≤0.5
则有 \g(根号2)\≤0.5 \g(0)\≤0.5 \g(1)\≤0.5
由第1问知道 g(根号2)+g(0)-2g(1)=2≤\g(根号2)\+\g(0)\+2\g(1)\≤2
不等式等号成立的条件是 g(根号2)=g(0)=0.5 g(1)=-0.5
因此解出 b=-2,d=0.5
-0.5≤F(1)≤0.5 且 -0.5≤F(-1)≤0.5
-0.5≤1+a+b+c+d≤0.5 且 -0.5≤1-a+b-c+d≤0.5
将b=-2,d=0.5代入上面两个不等得: 0≤a+c≤1 且 -1≤a+c≤0
所以a+c=0
注:此问的关键在于分析第一问与所给条件的关系,2是4倍的0.5,等式左边也刚好是4个数,解法自然出现了.(一般这种题目第一问都是对下面的提示,以后再做这种题目就应该注意了.但不要拘泥于此,下次如果这种方法行不通,应该立刻想别的办法,要保持思维的发散!)
3、f(x)=a(x^3-x)
a=0时,f(x)=0 原方程为 0=x/(x^2+1) 只有一个解x=0 不符合条件,舍去
a不等于0时,原方程为:a(x^3-x)=[a(ax+1)]/(x^2+1)
(x^3-x)(x^2+1)=ax+1 即 x^5-(a+1)x-1=0 令T(x)=x^5-(a+1)x-1
T(X)的导函数为K(x)=5x^4-(a+1)
a=-1时,方程x^5-1=0只有x=1一个解,不符合,舍去
a0,T(x)在[-2,正无穷)上为增函数,方程T(x)=0最多有一个解,不符合,舍去
a>-1且a不等于0时,由K(x)=0解得X=[(a+1)/5]^(1/4)或X=-[(a+1)/5]^(1/4)
则可知T(x)在[-2,-{(a+1)/5}^(1/4)]上为增函数,
在[-{(a+1)/5}^(1/4),{(a+1)/5}^(1/4)]上为减函数,
在[{(a+1)/5}^(1/4),正无穷)上为增函数.
方程T(x)=0的三个解必在T(x)的三个单调区间上
则有:T(-2)≤0,T(-[(a+1)/5]^(1/4))>0,T([(a+1)/5]^(1/4))1/4 即 a>-1+5/256^(1/5),
所以a的取值范围是(-1+5/256^(1/5),0)并(0,31/2)
已知函数F(X)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d可以分解成一个奇函数f(x)和一个偶函数g(x)之和,且对任意的x
已知f(x)=2ˆx(x属于R)可以表示为一个奇函数g(x)于一个偶函数h(x)之和
定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10的x次+1)
已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a不等于0,x属于R) ,-2是f(x)的一个零点,又f(x)在x=0
设函数f(x)=x^3+bx^2+cx 已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数 求b、c的值
已知定义在R上的任意函数f(x)=lg(10x+1),x∈R,可以表示成一个奇函数g(x)与偶函数h(x)的和,求g(x
已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx^2+cx+d,g(x)=ax^3+bx^2+cx+d,方程f(x
已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)为偶函数,那么g(x)=ax^3+bx^2+cx是什么函数?(奇还是偶函数
设函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d,已知F(x)=f(x)-f'(x)是奇函数,且F(1)=-11
已知f(x)=2^(x+1)是定义在R上的函数,且f(x)可以表示为一个偶函数g(x)和奇函数h(x)之和
已知函数f(x)=ax^3+x^2+bx(其中a、b为常数属于R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数
已知f(x)=ax^3+bx^2+cx+d为奇函数,且在点(2,f(2))处的切线方程为9x-y-16=0求f(x)的解