搜搜考试网高数洛必达法则习题!打五角星的两题!
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 09:13:53
高数洛必达法则习题!打五角星的两题!
题一
由于不方便,x趋于零就不写了,首先通分得
lim[x^2-(tanx)^2]/x^2(tanx)^2 (0比0型,由于分母为多项式乘积,所以x趋于0时,分母tanx可等价于x)
=lim[x^2-(tanx)^2]/x^4 罗比达法则,上下分别求导得
=lim[2x-2tanx (secx)^2]/4x^3 (0比0型）(可将secx 的极限为1带入,上式变为(2x-2tanx)/4x^3)继续求导
=lim[2-2(sec x)^2]/12x^2 (仍为0比0型）继续求导
=lim[0-4 (sec x) * sec x * tan x]/24x =lim[-4 tan x * (sec x)^2]/24x
x趋于0时,sec x的极限为1,tan x等价于x
上式的极限为 -4 x/24x= -1/6
题二
x=1时的值等于函数x趋于1的左极限
当x=1时,1/π (1-x),1/sin(πx) 无意义,所以将这两个式子通分求极限
lim [π(1-x)-sin πx]/[π(1-x) * sin πx] 令t=1-x ,那么t的极限为0,上式为
=lim[ π t - sinπ(1-t)] / π t sinπ(1-t)=lim(π t- sin π t)/(π t sin πt) (由函数公式sin(π-x)=sin x)
=lim(π t- sin π t)/(π^2 t^2) (因为分母sin(π t)等价于 π*t)
由罗比达法则分别求导可得(0比0型)
=lim[π -π*cos(π t)]/2π^2 *t 仍为0比0型,罗比达法则得
=lim[π^2 sin π t]/2 π^2=0
所以当x的极限趋于1时,f(x)=1/(π x)+0=1/π
为了函数在[1/2,1]上连续,需要补充定义 f(1)=1/π
再问： 谢谢啊，但第一题的答案是2/3你有时间吗，再看看！我现在脑子里一团浆糊，实在是搞不明白！
再答： =lim[2x-2tanx (secx)^2]/4x^3 (0比0型）(可将secx 的极限为1带入，上式变为(2x-2tanx)/4x^3)继续 求导 上一步错了，切记乘除法时可以将secx的极限做为1带入，或者可以将tanx 看作x。但是加减法时不可以，仍然是罗比达法则，继续求导 =lim[2-2(sec x)^4-4tan x *sec x * sec x *tan x]/12x^2 =lim[2-2(sec x) ^4 -4 (tan x)^2 (sec x)^2]/12x^2 =lim[2-2(sec x)^4 -4( (sec x)^2 -1)(sec x)^2]/12x^2=lim[2-6(sec x) ^4 + 4(sec x)^2]/12x^2 (仍为0比0型）继续求导 =lim[0-24(sec x)^3 * sec x * tan x + 8 sec x * sec x * tan x]/24x =lim tan x[8(sec x)^2 -24(sec x)^4]/24x x趋于0时，tan x等价于x(注意此时分子tan x是做乘法，加减时千万不可以)分子tan x 与分母x约掉 上式=lim[8(sec x)^2 -24(sec x)^4]/24=-2/3 你少说了一个符号吧？
再问： 恩，谢谢！
再问：
再答： 当然不可以带入，首先你在那一步时仍然是0/0型（无穷/无穷时同理）,并且（后面是重点）上面的0是由若干多项式的和组成。不可以将x趋于零用x=0代替其中的某一项多项式。
但是如果是多项式的乘积，可以用将X趋于零用X=0代替乘积中的某一项。例如
lim(x→0)SecX(x-tanx)/x^2这种分子为多项式的乘积，分子中的SecX可以用1代替，求和时切记不可。
由于不方便,x趋于零就不写了,首先通分得
lim[x^2-(tanx)^2]/x^2(tanx)^2 (0比0型,由于分母为多项式乘积,所以x趋于0时,分母tanx可等价于x)
=lim[x^2-(tanx)^2]/x^4 罗比达法则,上下分别求导得
=lim[2x-2tanx (secx)^2]/4x^3 (0比0型）(可将secx 的极限为1带入,上式变为(2x-2tanx)/4x^3)继续求导
=lim[2-2(sec x)^2]/12x^2 (仍为0比0型）继续求导
=lim[0-4 (sec x) * sec x * tan x]/24x =lim[-4 tan x * (sec x)^2]/24x
x趋于0时,sec x的极限为1,tan x等价于x
上式的极限为 -4 x/24x= -1/6
题二
x=1时的值等于函数x趋于1的左极限
当x=1时,1/π (1-x),1/sin(πx) 无意义,所以将这两个式子通分求极限
lim [π(1-x)-sin πx]/[π(1-x) * sin πx] 令t=1-x ,那么t的极限为0,上式为
=lim[ π t - sinπ(1-t)] / π t sinπ(1-t)=lim(π t- sin π t)/(π t sin πt) (由函数公式sin(π-x)=sin x)
=lim(π t- sin π t)/(π^2 t^2) (因为分母sin(π t)等价于 π*t)
由罗比达法则分别求导可得(0比0型)
=lim[π -π*cos(π t)]/2π^2 *t 仍为0比0型,罗比达法则得
=lim[π^2 sin π t]/2 π^2=0
所以当x的极限趋于1时,f(x)=1/(π x)+0=1/π
为了函数在[1/2,1]上连续,需要补充定义 f(1)=1/π
再问： 谢谢啊，但第一题的答案是2/3你有时间吗，再看看！我现在脑子里一团浆糊，实在是搞不明白！
再答： =lim[2x-2tanx (secx)^2]/4x^3 (0比0型）(可将secx 的极限为1带入，上式变为(2x-2tanx)/4x^3)继续 求导 上一步错了，切记乘除法时可以将secx的极限做为1带入，或者可以将tanx 看作x。但是加减法时不可以，仍然是罗比达法则，继续求导 =lim[2-2(sec x)^4-4tan x *sec x * sec x *tan x]/12x^2 =lim[2-2(sec x) ^4 -4 (tan x)^2 (sec x)^2]/12x^2 =lim[2-2(sec x)^4 -4( (sec x)^2 -1)(sec x)^2]/12x^2=lim[2-6(sec x) ^4 + 4(sec x)^2]/12x^2 (仍为0比0型）继续求导 =lim[0-24(sec x)^3 * sec x * tan x + 8 sec x * sec x * tan x]/24x =lim tan x[8(sec x)^2 -24(sec x)^4]/24x x趋于0时，tan x等价于x(注意此时分子tan x是做乘法，加减时千万不可以)分子tan x 与分母x约掉 上式=lim[8(sec x)^2 -24(sec x)^4]/24=-2/3 你少说了一个符号吧？
再问： 恩，谢谢！
再问：
再答： 当然不可以带入，首先你在那一步时仍然是0/0型（无穷/无穷时同理）,并且（后面是重点）上面的0是由若干多项式的和组成。不可以将x趋于零用x=0代替其中的某一项多项式。
但是如果是多项式的乘积，可以用将X趋于零用X=0代替乘积中的某一项。例如
lim(x→0)SecX(x-tanx)/x^2这种分子为多项式的乘积，分子中的SecX可以用1代替，求和时切记不可。