如图,在棱长都等于1的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别交BC,AD,BD于E
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 22:04:22
如图,在棱长都等于1的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别交BC,AD,BD于E,G,H.
(1)证明截面EFGH是矩形;
(2)F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由.
(1)证明截面EFGH是矩形;
(2)F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由.
证明:(1)∵AB∥平面EFGH,
平面ABC∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF
同理AB∥GH
∴EF∥GH
同理EH∥CD∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形
取CD中点S,连接AS,BS
∵AC=AD,S是CD中点
∴AS⊥CD
同理 BS⊥CD
又∵AS∩BS=S
∴CD⊥平面ABS
∴CD⊥AB
又∵AB∥EF,FG∥CD
∴EF⊥CD
即 四边形EFGH是矩形
(2)设FG=x,x∈(0,1)
由(1)知
FG
CD=
AF
AC=
AB-EF
AB,
又CD=AB=1
∴EF=1-x
则SEFGH=EF•FG=x(1-x)
=-(x-
1
2)2+
1
4
∴当x=
1
2时,SEFGH最大
即F是AC的中点时,截面面积最大
平面ABC∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF
同理AB∥GH
∴EF∥GH
同理EH∥CD∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形
取CD中点S,连接AS,BS
∵AC=AD,S是CD中点
∴AS⊥CD
同理 BS⊥CD
又∵AS∩BS=S
∴CD⊥平面ABS
∴CD⊥AB
又∵AB∥EF,FG∥CD
∴EF⊥CD
即 四边形EFGH是矩形
(2)设FG=x,x∈(0,1)
由(1)知
FG
CD=
AF
AC=
AB-EF
AB,
又CD=AB=1
∴EF=1-x
则SEFGH=EF•FG=x(1-x)
=-(x-
1
2)2+
1
4
∴当x=
1
2时,SEFGH最大
即F是AC的中点时,截面面积最大
如图在梯形ABCD中AD平行BC,AC,BD相交于点O,过O点作BC的平行线分别交AB,CD于点E,F
如下图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是边AB,AC,CD,BD的中点,且AD=BC,那么四边形EFGH是什么
如图在正方形abcd中,点m是对角线bd上的一点,过点m作me垂直cd交bc于点e,作mf平行bc交cd于点f,求证am
如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作 ME平行CD交BC于点E,作MF平行BC于点F.求证AM=
如图,在△ABC中 AB=AC AD是BC上的中线 P是AD上的一点 过点C作CF‖AB交BP延长线于F BF交AC于E
如图矩形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作EF‖AD,交AB,CD于点E,F,过点P作GH平行BA交AD,BC于
如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,且,AC=BD,那么四边形EFGH是?
ABCD是等腰梯形,AB平行DC,AD等于BC.P是CD上一点,过点P作AD,BC的平行线,分别交对角线AC,BD于点E
如图在三角形abc中ad垂直于bc于点d,e为bd上的一点,eg平行于ad,分别交ab和ca的延长线于点f、g.角afg
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC.过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F.求
如图,等腰梯形ABCD中,P是BC上任意一点,过P点分别作AB,CD的平行线,交对角线AC,BD于E,F,求证:PF+P
(1)如图,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的一点,过点D作BC的垂线,交AB于点E,交AC的延长线于F,则△A