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如图,在棱长都等于1的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别交BC,AD,BD于E

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 22:04:22
如图,在棱长都等于1的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别交BC,AD,BD于E,G,H.

(1)证明截面EFGH是矩形;
(2)F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由.
如图,在棱长都等于1的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别交BC,AD,BD于E
证明:(1)∵AB∥平面EFGH,
平面ABC∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF
同理AB∥GH
∴EF∥GH
同理EH∥CD∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形
取CD中点S,连接AS,BS
∵AC=AD,S是CD中点
∴AS⊥CD
同理 BS⊥CD
又∵AS∩BS=S
∴CD⊥平面ABS
∴CD⊥AB
又∵AB∥EF,FG∥CD
∴EF⊥CD
即 四边形EFGH是矩形
(2)设FG=x,x∈(0,1)
由(1)知
FG
CD=
AF
AC=
AB-EF
AB,
又CD=AB=1
∴EF=1-x
则SEFGH=EF•FG=x(1-x)
=-(x-
1
2)2+
1
4
∴当x=
1
2时,SEFGH最大
即F是AC的中点时,截面面积最大