搜搜考试网柯西不等式的几种证法（详细）
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 17:01:34
柯西不等式的几种证法（详细）
法一：向量分析
设A=（a1,a2,……an）B=（b1,b2,……bn）
∵A·B≤|A||B|
∴a1b1+a2b2+……anbn≤√a1²+a2²+……an²√b1²+b2²+……bn²
∴（Σaibi）²≤Σai²Σbi²
法二：构造二次函数
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时,一般形式显然成立
令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2
当a1,a2,…,an中至少有一个不为零时,可知A>0
构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C,展开得：
f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0
故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0,
移项得AC≥B^2,欲证不等式已得证.
设A=（a1,a2,……an）B=（b1,b2,……bn）
∵A·B≤|A||B|
∴a1b1+a2b2+……anbn≤√a1²+a2²+……an²√b1²+b2²+……bn²
∴（Σaibi）²≤Σai²Σbi²
法二：构造二次函数
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时,一般形式显然成立
令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2
当a1,a2,…,an中至少有一个不为零时,可知A>0
构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C,展开得：
f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0
故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0,
移项得AC≥B^2,欲证不等式已得证.