已知数列{an}满足a1=3/2,且an=3na(n-1)/2an-1+n=1,(n≥2,n∈N）设bn=an/n(n∈

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 22:09:09

已知数列{an}满足a1=3/2,且an=3na(n-1)/2an-1+n=1,(n≥2,n∈N）设bn=an/n(n∈N),求证b1b2···bn
以图为准。第一问已求出。

证明：
先求an的通项公式
∵an=3na(n-1)/[2a(n-1)+n-1]
两边同时取倒数,得
1/an=2/3n+(n-1)/3na(n-1)
∴n/an=(2/3)+(1/3)[(n-1)/a(n-1)]
∴n/an-1=(1/3)[(n-1)/a(n-1)-1]
∴数列{(n/an)-1}是首项=(1/a1)-1=2/3-1=-1/3,公比=1/3的等比数列
∴(n/an)-1=(-1/3)*(1/3)^(n-1) (n>=1)
∴n/an=1-(1/3)^n=1/bn
要证b1b2...bn1/2
即(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>1/2 .(2)
先证明,n∈N*时,有(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n).(3)
下面用数学归纳法证明
n=1时(3)式成立
假设n=k时成立,即
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)
则n=k+1时
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k) [1-1/3^(k+1)]>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)[1-1/3^(k+1)]
=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)-1/3^(k+1)+1/3^(k+1)(1/3+1/3^2+...1/3^k)
>=1-[1/3+1/3^2+...1/3^k+1/3^(k+1)] (3)式成立
故由数学归纳法知(3)式对一切n∈N*均成立
∴(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)
=1-(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=1-(1/2)[1-(1/3)^n]
=1/2+1/2(1/3)^n
>1/2
即(2)式成立
从而(1)式成立,即
b1b2...bn

已知数列{an}满足a1=3，且an+1-3an=3n，（n∈N*），数列{bn}满足bn=3-nan．已知数列{an}满足a1=312，且3an+1=an（n∈N*，n≥1）设数列{An}和{bn}满足A1=1/2,2nA(n+1)=(n+1)An,且Bn=ln(1+An)+1/2(An)2, 设数列{an},{bn}满足a1=1/2,2na(n+1)=(n+1)an,且{bn}=ln(1+an)+1/2an^2 已知数列（An）满足A1=1 An+1=3An 数列(Bn)前n项和Sn=n*n+2n+1 已知数列{An}满足:A1=5 An+1=2An+3(n∈N*),令Bn=An－3n 设数列{an},a1=3,an+1=3an-2（n∈N*）已知数列an,bn满足a1=1,a2=3,(b(n)+1)/bn=2,bn=a(n+1)-an,(n∈正整数）已知数列{an}满足a1=2,an=2an-1+2(n∈N*,且n≥2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2)设T 已知数列{an}{bn}满足a1=1,a2=3,b(n+1)/bn=2,bn=a(n+1)-an,(n∈正整数),求数列已知数列{an}中,a1=3\5,an.a(n-1)=2a(n-1)(n≥2,n∈N).数列{bn}是等差数列且满足bn 设数列｛an｝满足an+1/an=n+2/n+1,且a1＝2