如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB1∥AA1，

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/30 00:06:56

如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P；作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q．现将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．

（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AP⊥BC；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，连接AQ与A₁P，求四面体AA₁QP的体积；
（3）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直线PQ与直线AC所成角的余弦值．

如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB1∥AA1，

（1）证明：因为AB=3，BC=4，
所以图（2）中AC=5，
从而有AC²=AB²+BC²，即BC⊥AB．
又因为BC⊥BB₁，
所以BC⊥平面ABB₁A₁，
则AP⊥BC；
（2）S△APA1＝
1
2AA1•AB＝18，
由于CQ∥面APA₁且BC⊥面APA₁，
所以Q到面APA₁距离就是BC的长4，
所以VQ−APA1＝
1
3×18×4＝24；
（3）以BA，BC，BB₁为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则A（3，0，0）、C（0，4，0）、P（0，0，3）、Q（0，4，7）．
所以

AC=（-3，4，0），

PQ=（0，4，4），
设直线AC与直线PQ所成角为θ，
则cosθ=
|

AC•

PQ|
|

AC|•|

PQ|=
16
5×4
2=
2
2
5．

（2010•长春模拟）如图1所示，在边长为12的正方形AA′A1′A1中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，（2014•福建模拟）如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB 如图，已知A，B，C为不在同一直线上的三点，且AA1∥BB1∥CC1，AA1=BB1=CC1．已知：如图,点A'、B'、C'、D'分别在正方形的边AB、BC、CD、DA上,且AA'=BB'=CC'=DD'.求证：四已知：如图,点A’、B’、C’、D’分别在正方形的边AB、BC、CD、DA上,且AA’=BB’=CC’=DD’,求证：四如图,已知A,B,C为不在同一直线上的三点,AA1∥BB1∥CC1,且AA1=BB1=CC 如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=1,BC=2,AA′=3 如图，A，B，C为不在同一条直线上的三点，AA′∥BB′∥CC′，且AA′=BB′=CC′，求证：平面ABC∥平面A′B 如图,点A’、B'、C’、D'分别在长方形的边AB、BC、CD、DA上,且AA'=BB'=CC'=DD' 如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有两个动点E，F，且EF= 已知;如图,点A'B'C'D'分别在正方形的边AB.BC.CD.DA上,且AA'=BB'=CC'=DD'.求证;四边形A 如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，点E在边AB上，且AE=4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向