△ABC内接于圆,P为弧BC上一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F.求证：D、E、F三点共线

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 07:17:34

这是著名的西姆松定理,著名如下：
可以参见http://baike.baidu.com/view/344849.htm#1
证明一： △ABC外接圆上有点P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是∠FDP=∠ACP ①,（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共线. 反之,当F、D、E共线时,由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二：如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆. 若A、B、P、C四点共圆,则∠PBN = ∠PCM.因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线.

如图11,三角形ABC内接于圆,P为弧BC上一点,PD垂直AB于D,PE垂直BC于E,PF垂直AC于F.求证：D,E,F 已知:p为等边△ABC内任意一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,PB⊥BC于F.求证:PD+PE+PF是定值等边△ABC内接圆O,P为弧AB上一动点,PE⊥BC于E,PD⊥AB于D,PF⊥AC于F,若园O的半径为6,试求PE+P 已知：等腰△ABC中,底边BC上有任意一点P,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF垂直AB于F,求证：在△ABC,AB=AC,点P是边BC上的任意一点,PD⊥AB于D,PE⊥CA于E,CF⊥AB于F.求证PD+PE=CF 如图1△ABC为等腰三角形,AD⊥BC于D,点P在BC上,且PE⊥AB于E,PE⊥AC于F.1求证AD＝PE＋PF p为等边三角形ABC内任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F,则(PD+PE+PF)/(BD+CE+A 如图,在△ABC中,AB=AC,P底边BC上一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F．（1）求证：PD+P 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F．如图,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F,那么PD+PE与CF 如图,P为等边三角形ABC内任意一点,PD垂直AB于D,PE垂直BC于E,PF垂直AC于F.求PD+PE+PF是定值点P为等边△ABC内一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于F,AQ⊥BC于Q,求：AQ=PD+PE+PF