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设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx（k>0）与AB相交于点D,与椭圆相较于E、

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/05 21:40:40
设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx（k>0）与AB相交于点D,与椭圆相较于E、F两点.求四边形AEBF面积最大值
求详解,
设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx（k>0）与AB相交于点D,与椭圆相较于E、

由椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点,
得椭圆方程为：x²/4 +y²=1.
与直线方程y=kx（k>0）联立,解得交点坐标
E（ -2/√(1+4k²),-2k/√(1+4k²) ）
F（ 2/√(1+4k²),2k/√(1+4k²) ）
所以,
S(AEBF)
=S(△AEO)+S(△AFO)+S(△BEO)+S(△BFO)
=4k/√(1+4k²)+2/√(1+4k²)
=2(1+2k)/√(1+4k²),
设k=(tanα)/2,(0<α<π/2)
则
S(AEBF)
=2(1+tanα)cosα
=2(cosα+sinα)
=2√2sin(α+π/4),
所以,当α=π/4、即k=1/2时,
S有最大值=2√2
所以,四边形AEBF面积最大值为2√2


再问： 为什么将k设为(tanα)/2呢 tanα不行吗
再答： S(AEBF)=2(1+2k)/√(1+4k²), 将k设为(tanα)/2可以将k前面的系数消掉，便于计算 设成tanα也可以，不过算起来很麻烦。
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