求3/2次幂分式的积分

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/11 04:21:15

求3/2次幂分式的积分
求∫dx/(x^2-a^2)^3/2,答案我知道是-x/(a^2*sqrt(x^2-a^2))+C,书上好像提示令x=1/t,但是做了一半我做不下去,）

令x=1/t
t=1/x
(x^2-a^2)^(3/2)=[1/(t^2)-a^2]^(3/2)=[(1-a^2*t^2)^(3/2)]/[(t^2)^(3/2)]=
[(1-a^2*t^2)^(3/2)]/(t^3)
dx=[-1/(t^2)]dt
dx/(x^2-a^2)^(3/2)=[-1/(t^2)]dt/{[(1-a^2*t^2)^(3/2)]/(t^3)}=
-tdt/[(1-a^2*t^2)^(3/2)]
令u=1-a^2*t^2
du=-a^2*2tdt
dx/(x^2-a^2)^(3/2)=-tdt/[(1-a^2*t^2)^(3/2)]=[du/(2*a^2)]/[u^(3/2)]=
[1/(2*a^2)]*u^(-3/2)*du
积分,原函数=[1/(2*a^2)]*(-2)*u^(-1/2)=-(1/a^2)/sqrt(u)=
-(1/a^2)/sqrt(1-a^2*t^2)=-(1/a^2)/sqrt(1-a^2/x^2)=-|x|/(a^2*sqrt(x^2-a^2))
注意,此时还要加一个常数项C.
就是所求答案,不过我算的分子x多了个绝对值符号.

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