已知双曲线:C:x方比a方-y方比b方=1(a》0,b》0),B是右顶点,F是左焦点,且满足:[OA] [OB] [OF
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/11 17:09:04
已知双曲线:C:x方比a方-y方比b方=1(a》0,b》0),B是右顶点,F是左焦点,且满足:[OA] [OB] [OF]成等比数列,过F做双曲线在第1,3象限内渐近线的垂线L,垂足为P
(1)求证:PA向量*OP向量=PA向量*FP向量
(2)若L与双曲线C的左右两支分别交于D,E,求双曲线C的离心率E的范围
(1)求证:PA向量*OP向量=PA向量*FP向量
(2)若L与双曲线C的左右两支分别交于D,E,求双曲线C的离心率E的范围
(1)证明:设右焦点F的坐标为(c,0)(c=√a2+b2)
由双曲线c的渐近线方程为 y=±b/ax得直线l的方程 y=-b/a(x-c)
由方程组 y=bx/a
y=-b/a(x-c)
得点P( a2/c,ab/c)
∵:[OA] [OB] [OF] 成等比数列
∴ 即 [OB]2=[OA]* [OF] 即a2= [OA]*c
∴A点的坐标为( a2/c,0)
∴ 向量PA=(0,- ab/c),向量OP =( a2/c,ab/c),
向量FP=(-b2/c,ab/c )
∴ PA向量*OP向量=-a2b2/c2
.PA向量*FP向量=-a2b2/c2
∴ PA向量*OP向量=PA向量*FP向量
(2)∵直线L与双曲线C的左右两支分别交于点D,E,
∴直线L的斜率应大于渐近线 y=-bx/a的斜率
即- a/b > b/a
推出e2>2 推出e>√2
由双曲线c的渐近线方程为 y=±b/ax得直线l的方程 y=-b/a(x-c)
由方程组 y=bx/a
y=-b/a(x-c)
得点P( a2/c,ab/c)
∵:[OA] [OB] [OF] 成等比数列
∴ 即 [OB]2=[OA]* [OF] 即a2= [OA]*c
∴A点的坐标为( a2/c,0)
∴ 向量PA=(0,- ab/c),向量OP =( a2/c,ab/c),
向量FP=(-b2/c,ab/c )
∴ PA向量*OP向量=-a2b2/c2
.PA向量*FP向量=-a2b2/c2
∴ PA向量*OP向量=PA向量*FP向量
(2)∵直线L与双曲线C的左右两支分别交于点D,E,
∴直线L的斜率应大于渐近线 y=-bx/a的斜率
即- a/b > b/a
推出e2>2 推出e>√2
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