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在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y1=-x2+2x．

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 18:07:39
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y1=-x2+2x．

（1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式．
（2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y1=-x2+2x．
（1）依题意抛物线：y1=-x2+2x=-（x-1）2+1，
∴其顶点坐标为（1，1）
当把C1向右平移2个单位，再向上平移1个单位时，
抛物线C2的顶点P的坐标为（3，2）
∴C2的解析式为y2=-（x-3）2+2；
（2）符合条件的N点存在．
如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B
∴∠PAO=∠MBN=90°，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵点P的坐标为（3，2），
∴NB=PA=2，
∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点
∴符合条件的N点只能在x轴下方，
当点N在C1上时，y1=-2，即-2=-（x-1）2+1，
解得：x=1±
3，
∴N1（1+
3，-2），N2（1-
3，-2）；
当点N在C2上时，y2=-2，即=-（x-3）2+2=-2，
解得：x=5或1，
∴N3（5，-2），N4（1，-2），
∴满足条件的点N有4个，分别是N1（1+
3，-2）、N2（1-
3，-2）、N3（5，-2）、N4（1，-2）．
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