搜搜考试网简单的微分法请用微分法作出解答,原题如下图：
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 22:42:53
简单的微分法
请用微分法作出解答,原题如下图：
请用微分法作出解答,原题如下图：
换元,(sin θ)^2 = t,两边同时微分得到：2 sin θ * cos θ dθ = sin 2θ dθ = dt
dy = f ' ((sin θ)^2) sin 2θ dθ = f ' (t) dt 积分此式=>
y = f(t) + C = f((sin θ)^2) + C.
C为任意常数.
例如,取C = 0,y = f((sin θ)^2) 就是其中一个答案.
再问： 很好，可是这里有一个瑕疵，可微函数的导函数好像不一定可积，因此这里用积分不太恰当吧？这个问题教材很少提及，但很值得探讨。
再答： 一定是可积的. f(x) 在 [0,1] 上可微，那么，f ' (x) 在 [0,1] 上连续. 在闭区间上的连续函数一定可积，这是定理. 可能你用的教材上没有.
再问： 如果f(x)在[a,b]上可微，那么f'(x)在[a,b]上一定连续？没有见过这个结论啊！
再答： 这个貌似不太对. 不过对于这个题：dy = f ' ((sin θ)^2) sin 2θ dθ = f ' (t) dt => y ' = f ' (t) => y = f(t) + C. 利用原函数定义就可以了.
再问： 这样理解也可以，不过这用的仍然是积分法，还是无法避免上述瑕疵，关于可微函数的导数可积的条件，这里承网友帮助找到了一个（可参阅《数学分析中的典型问题与方法》），如下图
由此可见，可微函数的导数不一定可积。
再答： y ' = f ' (t) => (y - f(t)) ' = 0 对任意的 t 成立. 可导函数是连续的，其导数恒为 0 ，推出只能为常数. 这样应该没有问题吧.
dy = f ' ((sin θ)^2) sin 2θ dθ = f ' (t) dt 积分此式=>
y = f(t) + C = f((sin θ)^2) + C.
C为任意常数.
例如,取C = 0,y = f((sin θ)^2) 就是其中一个答案.
再问： 很好，可是这里有一个瑕疵，可微函数的导函数好像不一定可积，因此这里用积分不太恰当吧？这个问题教材很少提及，但很值得探讨。
再答： 一定是可积的. f(x) 在 [0,1] 上可微，那么，f ' (x) 在 [0,1] 上连续. 在闭区间上的连续函数一定可积，这是定理. 可能你用的教材上没有.
再问： 如果f(x)在[a,b]上可微，那么f'(x)在[a,b]上一定连续？没有见过这个结论啊！
再答： 这个貌似不太对. 不过对于这个题：dy = f ' ((sin θ)^2) sin 2θ dθ = f ' (t) dt => y ' = f ' (t) => y = f(t) + C. 利用原函数定义就可以了.
再问： 这样理解也可以，不过这用的仍然是积分法，还是无法避免上述瑕疵，关于可微函数的导数可积的条件，这里承网友帮助找到了一个（可参阅《数学分析中的典型问题与方法》），如下图
由此可见，可微函数的导数不一定可积。再答： y ' = f ' (t) => (y - f(t)) ' = 0 对任意的 t 成立. 可导函数是连续的，其导数恒为 0 ，推出只能为常数. 这样应该没有问题吧.