证明：在坐标平面上存在一个同心圆的集合使得每个整点都在集合的某一圆上

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 04:14:19

证明：在坐标平面上存在一个同心圆的集合使得每个整点都在集合的某一圆上
还要证明此集合的每个圆周上有且只有一个整点

设π为圆周率,e为自然对数的底,
以点（π,e）为圆心的圆中,去掉不通过整点的圆,得到一个可数集合.即所求的一个同心圆的集合.
每个整点都在集合的某一圆上显然的.即半径＝|（m,n）（π,e）|之圆.
需要证明的是,一个圆上,不会有两个整点.
设（a,b）,（c,d）是两个不同的整点.在集合中的同一圆上.
则（a-π）²+（b-e）²＝（c-π）²+（d-e）²
c²-a²+d²-b²＝2（c-a）π+（d-b）e.
注意到π和e是两个代数无关的超越数.
以下证明：c=a.b=d.
假如c≠a.则π可以用e与整数经过四则运算而得到.不可.∴c＝a.
同理可证,b＝d.这与（a,b）,（c,d）是两个不同的整点矛盾.证毕.

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