怎么证明n+1节点,n为偶数时,代数精度为n+1

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/04 01:48:08

如图所示.

因为Newton-Cotes系数是对称的,所以把奇数次多项式(x-(a+b)/2)^{n+1}代进去之后得到的数值积分结果和精确结果一样（都是0）
再问：你好，请问你可以说得详细一点吗？
不好意思，我没太理解你的意思。
能够从误差计算式看出来，n为偶数时，代数精度为n+1吗？
再答：你贴的那个误差界只能得到n次代数精度，需要借助一些额外的信息才能得到n+1次，我给你写的就是一种“额外的信息”
再问：这个题目是个考试题目
我不明白你写的那个奇次多项式是带到哪去，是怎么证明达到n+1的。

例如，f(x)=x^n,根据误差公式，求n阶倒数为常数，n+1阶（大于n时）就是0，而且好像也跟奇偶无关，这能说明什么问题吗？
你能写得更加明白点，截个图给我吗？
帮帮忙，谢谢了！
再答：利用那个误差估计可以得到对于不超过n次的多项式而言Newton-Cotes公式的截断误差都是0
在这个情况下只需要找到一个n+1次多项式f使得R[f]=0就可以由线性性质得到对所有的n+1次多项式积分误差都是0
既然如此照我说的方法构造一个就行了

如果你看不明白我那个构造的话先看一个简单的例子
当n是偶数时考虑x^{n+1}在[-1,1]上的积分，显然这个积分是0
如果你用n次Newton-Cotes公式来算这个积分，算出来的结果也是0
这就说明x^{n+1}在[-1,1]上数值积分的误差是0
（如果再想不明白就看n=2的具体例子，再不明白就算了）

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