搜搜考试网线性代数有关相关性的证明!求证.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 11:48:02
线性代数有关相关性的证明!求证.
设向量β可由向量组α1,α2,...,αr线性表示,但不能由向量组α1,α2,...,αr-1线性表示,证明αr不能由向量组α1,α2,...,αr-1线性表示
设向量β可由向量组α1,α2,...,αr线性表示,但不能由向量组α1,α2,...,αr-1线性表示,证明αr不能由向量组α1,α2,...,αr-1线性表示
反证法
假设ar能由其余r-1个向量线性表出则设存在不全为0的数,使得
ar=c1a1+c2a2+...+cr-1ar-1
因为β能被a1到ar线性表出,设存在不全为0的数,使得
β=k1a1+k2a2+...+krar=k1a1+k2a2+...kr-1ar-1+kr(c1a1+c2a2+...+cr-1ar-1)
=(k1+krc1)a1+...+(kr-1+krcr-1)ar-1
显然上式中的系数不全为0
所以β能够被a1到ar-1线性表出,矛盾
假设ar能由其余r-1个向量线性表出则设存在不全为0的数,使得
ar=c1a1+c2a2+...+cr-1ar-1
因为β能被a1到ar线性表出,设存在不全为0的数,使得
β=k1a1+k2a2+...+krar=k1a1+k2a2+...kr-1ar-1+kr(c1a1+c2a2+...+cr-1ar-1)
=(k1+krc1)a1+...+(kr-1+krcr-1)ar-1
显然上式中的系数不全为0
所以β能够被a1到ar-1线性表出,矛盾