搜搜考试网一道积分极限证明题[1/(根号n) ]*{1/(根号1+n)+1/(根号2+n)+.+1/(根号n+n)}趋近于 2[(
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/19 08:13:36
一道积分极限证明题
[1/(根号n) ]*{1/(根号1+n)+1/(根号2+n)+.+1/(根号n+n)}趋近于 2[(根号2)-1]
打的我快累死了
[1/(根号n) ]*{1/(根号1+n)+1/(根号2+n)+.+1/(根号n+n)}趋近于 2[(根号2)-1]
打的我快累死了
![一道积分极限证明题[1/(根号n) ]*{1/(根号1+n)+1/(根号2+n)+.+1/(根号n+n)}趋近于 2[(](/uploads/image/z/15277970-2-0.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%9E%81%E9%99%90%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%5B1%2F%28%E6%A0%B9%E5%8F%B7n%29+%5D%2A%7B1%2F%28%E6%A0%B9%E5%8F%B71%2Bn%29%2B1%2F%28%E6%A0%B9%E5%8F%B72%2Bn%29%2B.%2B1%2F%28%E6%A0%B9%E5%8F%B7n%2Bn%29%7D%E8%B6%8B%E8%BF%91%E4%BA%8E+2%5B%28)
将1√n乘入,原式左边=1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)
我们的目标是求极限：lim{n->∞}{1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)}=lim{n->∞}{(1/n)[1/√(1+1/n)+1/√(1+2/n)+...+1/√(1+n/n)}
对照定积分的定义,令Δxi=1/n,xi=i/n,f(x)=1/√x,积分区间为[1,2]
所以lim{n->∞}{(1/n)[1/√(1+1/n)+1/√(1+2/n)+...+1/√(1+n/n)}=∫{1,2}{(1/√x)dx}=2√x|{1,2}=2√2-2
所以lim{n->∞}{1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)}=2(√2-1)
证毕.
如果上面过程看得太累,可以看看下图：
我们的目标是求极限：lim{n->∞}{1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)}=lim{n->∞}{(1/n)[1/√(1+1/n)+1/√(1+2/n)+...+1/√(1+n/n)}
对照定积分的定义,令Δxi=1/n,xi=i/n,f(x)=1/√x,积分区间为[1,2]
所以lim{n->∞}{(1/n)[1/√(1+1/n)+1/√(1+2/n)+...+1/√(1+n/n)}=∫{1,2}{(1/√x)dx}=2√x|{1,2}=2√2-2
所以lim{n->∞}{1/√(n^2+n)+1/√(n^2+2n)+...+1/√(2n^2)}=2(√2-1)
证毕.
如果上面过程看得太累,可以看看下图：
极限1/(n*根号n)*(1+根号2+根号3+.+根号n) n趋于无穷大
求极限 当n趋近于无穷时 lim根号n（根号下（n+1）-根号n）
高数求极限题：lim(n趋近于无穷大),n次根号下为：2+(-1)的n次方
根号（n+1)+n
数列极限 lim（n趋近于正无穷）（根号下n²+2n）-（根号下n²-1） ..
求极限 lim(n无穷)n【(根号（n^2+1)-根号（n^2-1)】
求极限根号(n^2+1)-根号(n^2-2n),n→正无穷
求极限 n趋向于无穷 lim（(根号下n^2+1)/(n+1)）^n
求极限lim(n趋向于无穷）(n+1)(根号下(n^2+1)-n)
LIM[根号（N+1）-根号（N）]/[根号（N+2）-根号（N）]
lim(根号(n平方+2n)-根号(n平方-1))
请用放缩法证明：1+1/根号2+1/根号3+------+1/根号n＜2根号n