一道空间向量的题,给定三角形ABC,对空间中的一点P,建立如下变换f:AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P',

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/09 16:08:27

一道空间向量的题,
给定三角形ABC,对空间中的一点P,建立如下变换f:AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P',f(P)=P',则对于变换f,是否存在不动点（即P与P'重合的点）?
1楼第一问我就找不到。

对任意给定三角形ABC,存在这种变换f,使得P与P'点重合.
当P与P'点重合时,P点一定在三角形ABC确定的平面内,这一点如下证明,直线AP与直线BQ这两条相交的直线(交点Q)确定一个平面S,同理BQ与RS确定一个平面S1,由于P与P'点重合,故P既在S上又在S1上,直线BQ与该直线外一点P仅能确定一个平面,故平面S与S1重合,此时S即是三角形ABC确定的平面.
设ABC的坐标分别为A(a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2),P,Q,R的坐标分别为P(x1,x2),Q(y1,y2),R(z1,z2),由于AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,则坐标有如下关系:
z1+c1=2x1
z2+c2=2x2
x1+a1=2y1
x2+a2=2y2
y1+b1=2z1
y2+b2=2z2
这是一个由6个未知数x1,x2,y1,y2,z1,z2,6个方程构成的线性方程组,存在不存在变换f,使得P与P'点重合,取决于上述方程是否有解,该方程组的系数矩阵是严格对角占优的(每一行对角线元素的绝对值大于同行所有非对角线元素绝对值之和),故是非奇异的,于是该方程组有唯一解,从而可知这种变换f是存在的,P点的位置由上述方程确定,并且是唯一的.

在△ABC中,点P,Q,R分别为三遍BC,CA,AB的中点,求证:向量AP+向量BQ+向量CR=0向量在三角形ABC中,向量AB=a AC=b AP的中点,BQ的中点R,CR的中点P 已知在三角形ABC中向量AB =向量a 向量 AC=向量b AP的中点为Q BQ的中点为R 在面积为1的三角形ABC 中,P为边 BC的中点,点 Q在边AC 上,且AQ=2QC ,连接AP ,BQ交于点R ,则三平面向量高中题一道.求讲解.已知D为三角形ABC边BC的中点,点P满足向量PA+BP+CP=0 AP=rPD,则实数r的在三角形OAB中，M为OB的中点，N为AB的中点，ON、AN交与点P。向量AP=m向量OA+n向量OB（m、n属于R），四面体ABCD中,AB=CD,BC=AD,P,Q分别为AC,BD的中点（用空间向量证明）谢谢已知点P为线段AB的中点,点Q为线段PB上任意一点,试探究线段PQ与线段AQ BQ的关系已知：点P为线段AB的中点,Q为PB上的任何一点,试说明：PQ=(1/2)(AQ-BQ) 已知P为线段AB的中点,Q为PB上一点,试问2PQ+BQ与AQ之间的关系,并加以说明. 空间四边形ABCD中,P、Q、R分别是AB,AD,CD的中点,平面PQR交BC于点S,求证：四边形PQRS为平行四边形空间角已知,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别为BC、PC的中点,